Минимални полином

У различитим областима математике, минимални полином објекта a јесте у одређеном смислу нормирани полином p најмањег могућег степена такав да је p(a) = 0. Посебно је значајан појам минималног полинома у линеарној алгебри и теорији поља.

Линеарна алгебра

У линеарној алгебри, минимални полином квадратне матрице A је монични полином p најмањег могућег степена такав да је

p(A) = 0.

Свака матрица A има једнозначно одређен минимални полином; он се најчешће означава са μ_A. Минимални полином матрице дели сваки од полинома који је поништавају, тако да се може одредити и као њихов највећи заједнички делилац, односно као монични генератор главног идеала

{ p ∈K[X] : p(A) = 0 } = (μ_A)

у прстену полинома K[X].

Сличне матрице имају једнаке минималне полиноме. Минимални полином линеарног оператора L јесте минимални полином ма које од његових матрица (које су све међусобно сличне); истовремено, то је и монични полином p најмањег степена такав да је p(L) = 0.

Минимални и карактеристични полином матрице имају једнаке скупове нула, при чему са могућно различитим вишеструкостима. Други начин да се искаже ово својство јесте релација

μ_A | φ_A | μ_Aⁿ.

Релација μ_A | φ_A је последица Кејли-Хамилтонове теореме, према којој је φ_A(A) = 0. На основу овог својства, минимални полином матрице се у пракси најчешће налази тако што се прво израчуна и на чиниоце разложи њен карактеристични полином, а затим се минимални полином тражи међу његовим делитељима са истим скупом нула. Минимални полином квадратне матрице реда n је степена највише n.

Минимални полином, својствене вредности и канонски облици матрице

Нуле карактеристичног, па дакле и минималног, полинома матрице су њене својствене вредности. Посебно, ако n × n матрица има n различитих својствених вредности λ₁, λ₂, ..., λ_n, тада се њен минимални и карактеристични полином подударају и оба су једнака

(X − λ₁)⋅(X − λ₂) … (X − λ_n).

Општије, свака матрица има Жорданову нормалну форму, једнозначно одређену до на редослед блокова, по неколико њих за сваку својствену вредност матрице, и која јој је слична, те тако има исти минимални и карактеристични полином. Ако матрица A има својствене вредности λ₁, λ₂, …, λ_k са алгебарским вишеструкостима r₁, r₂, …, r_k (тако да је r₁ + r₂ + ... + r_k = n), и ако су, за свако 1 ≤ i ≤ k, ν₁(i) ≤ ν₂(i) ≤ …, ≤ ν_si(i) димензије Жорданових блокова који одговарају својственој вредности λ_i (тако да је ν₁(i) + ν₂(i) + ... + ν_si(i) = r_i), тада је

$\phi _{A}=(X-\lambda _{1})^{r_{1}}(X-\lambda _{2})^{r_{2}}\cdots (X-\lambda _{k})^{r_{k}}$, $\mu _{A}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{s_{1}}(1)}(X-\lambda _{2})^{\nu _{s_{2}}(2)}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{s_{k}}(k)}$.

Посебно се минимални и карактеристични полином матрице подударају ако и само ако свакој њеној својственој вредности одговара по тачно један Жорданов блок, односно ако и само ако су геометријске вишеструкости свих својствених вредности (за својствену вредност λ_i то је s_i, број одговарајућих Жорданових блокова) једнаке 1.

Матрица је дијагонализабилна над неким пољем F ако и само ако је њен минимални полином производ различитих линеарних фактора над F.

Матрице код којих се минимални и карактеристични полином подударају се погодно карактеришу и као управо матрице које су сличне некој цикличној матрици; линеарни оператори који одговарају таквим матрицама се и сами називају цикличним операторима. Општије, ако су A₁, A₂, ...., A_l канонски циклични блокови матрице A и φ₁ | φ₂ | ... | φ_l њихови карактеристични (и истовремено минимални) полиноми, тзв. инваријантни делитељи матрице A, тада је

φ_A = φ₁φ₂...φ_l,  μ_A = φ_l.

Уопштења

Коришћењем теорије Галуа се установљава да минимални полиом матрице не зависи од поља над којим се она посматра: ако је K потпоље неког поља L и A матрица над пољем K, тада је минимални полином матрице A као матрице над пољем K истовремено и њен минимални полином као матрице над пољем L.

Минимални полином се дефинише и за матрице над ма којим главноидеалским прстеном S као генератор идеала полинома који поништавају матрицу A у прстену полинома S[X], за који се доказује да је онда и сам главноидеалски; у том случају он је дефинисан једнозначно до на множење јединицама прстена S.

Минимални полином се такође може дефинисати и за линеарне операторе L на просторима произвољне (могућно бесконачне) димензије као монични полином p најмањег степена такав да је p(L) = 0, ако такав полином постоји. На пример, у функционалној анализи, сваки оператор пројекције P у простору произвољне димензије је идемпотентан, па задовољава једначину P² − P = 0. Стога је његов минималан полином увек један од полинома X (за оператор пројекције на нула-потпростор), X −1 (за идентични оператор) или X² − X (за све остале операторе пројекције).