Површински интеграл

Површински интеграл у математици представља генерализацију вишеструких интеграла за интеграцију преко површина. Може се сматрати као двоструки интеграл аналогно криволинијском интегралу. С обзиром на површину, може се интегрисати преко њених скаларних поља (тј. функција које враћају скаларе као вредности) и векторских поља (тј. функција које враћају векторе као вредности).

Површински интеграли имају примену у физици, делом са теоријама класичног електромагнетизма.

Површински интеграл скаларних поља[уреди | уреди извор]

Како би се пронашла експлицитна формула за површински интеграл, потребно је параметризовати површину интереса, S, сматрајући систем криволинијских координата на S, као и географску ширину и дужину на сфери. Нека таква параметризација буде $x$ (s, t), где (s, t) варира у некој области Т у равни. Затим, површински интеграл је дат

\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

где је израз између линија на десној страни величина унакрсног производа парцијалних извода $x$ (s, t) и познат је као површински елемент. Површински интеграл се такође може изразити у еквивалентном облику

$\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

где је g детерминанта првог фундаменталног облика површинског пресликавања $x$ (s, t).^[1]^[2]

На пример, ако желимо да нађемо површину графа неке скаларне функције, рецимо $z=f(x,y)$ , имамо

${\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

где је ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . Тако да ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$ и ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ следи

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$