Купа (геометрија)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Права (лево) и коса кружна купа (десно)

Купа (или конус) је геометријско тело. Може се дефинисати као геометријско место тачака које чини све дужи између елипсе, која се налази у једној равни, и тачке, која се налази изван те равни. Ова елипса се још назива база купе, а тачка њено теме.

Права која пролази кроз теме и центар базе купе се назива њеном осом. Уколико је ова права и нормална на базу купе, купа се назива правом. У супротном се ради о косој купи.

Растојање између темена купе, и његове пројекције на раван базе купе се назива висином купе.

Свака дуж која спаја теме и неку од ивичних тачака базе се назива изводницом купе. Код праве купе све изводнице имају једнаку дужину док код косе купе постоје највише две изводнице са истом дужином.

Површина купе[уреди]

Површина купе се увек рачуна као збир површина њеног омотача и њене базе. Омотач купе је скуп свих дужи које спајају теме купе са ивицом основице купе. У случају да је база круг, његова ивица би била кружница.

Површина праве кружне купе[уреди]

Размотавањем омотача праве купе се може установити да се ради о одсечку круга, који за полупречник има дужину s изводнице купе. Покривени угао се према пуном кругу (тј. ) односи као обим базе купе према обиму круга са полупречником s, што би дало следећи израз:

кружни исјечак

Исти резултат можемо добити и на сљедећи начин.

Размотавањем омотача праве купе добија се исјечак круга полупречника s са централним углом θ. Када је централни угао у радијанима, површина и дужина лука кружног исјечка су

Смотан у купу, лук исјечка постаје кружница обима 2, па имамо

што уврштавањем у израз за површину кружног исјечка даје

Површина базе је површина круга полупречника r, што износи Pb = r²π. Збир ове две вредности даје површину купе:

Примјер. Висина праве купе је h. Наћи површину купе, ако је њен омотач у развијеном облику кружни исјечак са централним углом θ = 120°.

Рјешење: Дати централни угао изражен у радијанима је

Дужина лука исјечка и обим базе купе су једнаки, тј.

Питагорина теорема даље даје

те је

Иначе, површина кружног исјечка полупречника s, овдје омотача (Po) купе, и површина базе (Pb) купе су

Па је површина купе у овом примеру:

Запремина купе[уреди]

Запремина купе се увек може представити као трећина производа површине њене базе са растојањем темена од равни у коме се налази база. Ово растојање се још зове и висина купе.

Пример може бити кружна купа код које је Pb = r²π. Из претходног израза следи да је запремина ове купе:

Запремина косе и праве елиптичне купе се разликује само у бази:

Примјер. Површина праве купе је P. Изводница је нагнута према равни основе под углом φ. Израчунати запремину купе.

Рјешење: Полупречник базе купе и висина купе изражени помоћу изводнице и угла нагиба су

Површина и запремина купе, изражене на исти начин су

Из прве једнакости изразимо s и уврстимо у другу

Спољашње везе[уреди]