Кружница

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кружница је математички појам који се користи у геометрији и није синоним за круг. Уобичајено је да се кружница зове линија коју описује шестар, а круг је површина унутар кружнице. Тако кружница има своју дужину, која се често зове обим, а круг има површину.

Дефиниције[уреди]

Кружница је затворена крива линија у раван/равни чије све тачке леже на истом одстојању од неке тачке О у истој овој равни и која се зове центар кружнице. Одстојање сваке тачке кружнице од њеног центра мери се сегментом праве који се назива полупречник (радијус) r. Кружница k с центром О и полупречником r означава се k(O,r), понекад са O(r).

Кружница са центром О и полупречником r може се дефинисати као геометријско место тачака у равни на датом одстојању r од дате тачке О која лежи у истој равни.

Једначина кружнице у правоуглим Декартовим координатама гласи:

,

где су (p,q) координате центра, а r полупречник. Из претходне једначине следи да је кружница крива другог реда. Претходна једначина кружнице се користи у решавању конструктивних задатака, у графичком решавању једначина и неједнакости.

У свакој тачки кружнице њена кривина је константна, једнака . Тангента на кружницу је нормална на полупречник у тачки додира.

Обим кружнице O(r) је , а кружница се назива и периферијом круга.

Површина омеђена кружницом је .

Тетива је дуж која спаја две тачке на кружници.

Централни угао је угао из центра круга под којим се види дата тетива.

Периферни угао је угао из тачке на кружници под којим се види дата тетива.

Тангента је права која додирује кружницу (у једној тачки).

Остале дефиниције[уреди]

Кружна трансформација равни је трансформација у којој свака кружница или права прелази у кружницу или праву. Кружна трансформација је производ две трансформације: инверзије и сличности. Примери кружних трансформација су: кретање, сличност, инверзија. Кружна трансформација је (једно од) конформних пресликавања.

Кружни цилиндар (елементарна геометрија) је цилиндар, тј. ваљак чија је директриса (водиља) кружница. Ако је изводница К. ц. нормална на његову основу, К. ц. се назива прави; ако је пак изводница коса према основи, К. ц. је кос.

Обично, под појмом кружни цилиндар подразумева се прав кружни цилиндар. Прав кружни цилиндар се може замислити као фигура образована обртањем правоугаоника око његове странице.

Кружни конус (у елементарној геометрији) је конус (купа) чија је директриса (водиља) кружница. Врх правог кружног конуса се у ортогоналној пројекцији пројектује у центар његове основе. Прав кружни конус се добије обртањем правоуглог троугла око катете. Прав кружни конус се назива једноставно конус.

Врх косог кружног конуса се у ортогоналној пројекцији не пројектује у центар основе.

Ако се кружни конус пресече са равни која није паралелна основи, може се у пресеку добити и круг.

Аполонијева кружница је геометријско место тачака М равни чији је однос одстојања од две дате тачке A и B, које леже у истој овој равни, константна величина . Аполонијева кружница се користи у решавању геометријских конструктивних задатака методом геометријских места тачака. На пример: конструкција троугла ако је задата страница, висина на ту страницу и однос остале две странице троугла; страница, њено теме датог троугла и однос остале две странице; када је поред осталих дат однос две висине троугла. Аполонијева кружница је названа по старогрчком научнику Аполонију из Перга, који ју је изучавао у 3. веку п. н. е.

Кружница девет тачака је кружница на којој леже средине страна троугла, подножја његових висина и средине сегмената висина између темена и ортоцентра. Центар кружнице девет тачака се поклапа са средином дужи која спаја ортоцентар троугла с центром описане кружнице. Полупречник кружнице девет тачака је једнак половини пречника описане кружнице датог троугла. Кружница девет тачака се назива и Ојлерова кружница.

Кружница кривине криве у простору у тачки М је кружница која лежи у оскулаторној равни криве у тачки М, чији је радијус једнак где је k кривина криве у тачки М, на растојању . Кружница кривине не постоји у тачки у којој је кривина криве једнака нули. Кружница кривине има с кривом у тачки М додир чији ред није мањи од 2. Кружница кривине се назива и оскулаторна кружница.

Концентричне кружнице су кружнице које имају заједнички центар и леже у истој равни.

Неконцентричне кружнице називају се и ексцентричне.

Конфокалне криве су криве 2. реда (конусни пресеци) које имају заједничке жиже (фокусе).

Елементарна (Еуклидска) геометрија[уреди]

1. Теорема
Централни угао је двоструко већи од периферног над истом тетивом.

Centralni-ugao.gif

Доказ
Дата су кружница k тетива централни угао и периферни угао .
Дужи CA, CB и CP су једнаке (полупречници), па је троугао BCP једнакокраки. Исто тако и троугао ACP је једнакокраки. PP' је пречник круга, а AP’ и BP’ су такође тетиве.
Спољашњи угао троугла једнак је збиру два унутрашња њему несуседа угла, тј. , и отуда:
.
2. Теорема
Периферни угао над пречником је прав.
Доказ
Из претходне теореме, јер је централни угао над пречником 180°, а пола од тога је прави угао.
3. Теорема
Угао између тетиве и тангенте повучених из исте тачке кружнице једнак је периферном над том тетивом.

Ugao-tangente.gif

Доказ
Дат су круг k, тангента t и тетива AB. AP је пречник круга па је угао у B прав. Углови BAt и APB имају окомите краке, тј. једнаки су!
4. Теорема
Периферни углови над истом тетивом једнаки су или су суплементни. Ако су са различитих страна тетиве они су суплементни.


Спољашње везе[уреди]