Лагранжева функција

Када се решава проблем кретања система више тела, користи се Лагранжев формализам који упрошћава праћење еволуције система. Тачније, користе се једначине:$-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}-{\partial L \over \partial q_{i}}=0$

где је $L=T-U$ Лагранжијан или Лагранжева функција, док је Т — кинетичка енергија система, а U — потенцијална енергија система, док су ${\dot {q}}_{i}$ — генералисане брзине, а $q_{i}$ — генералисане координате.

Извођење

Полазимо од Даламберовог принципа да је рад сила реакција подлоге при могућем или виртуелном померању тела једнак 0, тј. ако је:$m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }={\overrightarrow {R}}_{\nu }$, где је $m_{\nu }$ — маса ν-тог тела, а_ν — његово убрзање, ${\overrightarrow {F}}_{\nu }$ — резултанта дејствујућих сила на ν-то тело и ${\overrightarrow {R}}_{\nu }$ — реакција подлоге на ν-то тело, тада је: $\sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {R}}_{\nu }\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$, односно $\sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$ 1.

$\delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}\delta q_{i}$; ${\overrightarrow {v}}_{\nu }={d{\overrightarrow {r}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}$=> ${\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}={\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}$, сада израз 1. постаје

$\sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$ уз ${d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}{\Bigr )}$, а ${\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}={d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}-{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}$

$\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}-\sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}\delta q_{j}=0$

Како је кинетичка енергија, $T=\sum _{\nu =1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{\nu }v_{\nu }^{2}=\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\dot {q}}_{i}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\dot {q}}_{j}$=>

$m_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{j}={\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}$=> $\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}$

Па ако су силе потенцијалне, тј. важи ${\overrightarrow {F}}_{\nu }=-{\partial U \over \partial {\overrightarrow {r}}_{\nu }}$, то израз ${\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}=-{\partial U \over \partial q_{j}}$

и коначно једначина 1 постаје:$\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}+{\partial U \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=0$

Како су могућа померања $\delta q_{j}$произвољна, то следи: $-{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial q_{i}}=0$

Примери

Математичко клатно

Приказ клатна са дејствујућим силама, везама и генералисаном координатом

Круто тело занемарљиве масе ограничава кретање тела масе ṁ занемарљивих димензија, тако да се кретање прати замо углом θ — отклона штапа од вертикале, па се добије:$d{\overrightarrow {r}}=dr{\overrightarrow {e}}_{r}+rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta }$=> $d{\overrightarrow {r}}=rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta };dr=0$

$v=r{\dot {\phi }}$; $T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}$; $U=mgl(1-\cos \theta )$

$L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-mgl(1-\cos \theta )$, па из

$-{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial \theta }=0$=> $l^{2}{\ddot {\theta }}=-lg\sin \theta$, па за $\theta \rightarrow 0$ произилази решење $\theta =A\cos {(\omega t+\phi _{0})}$$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$

Кретање у Кулоновом пољу сила

Кулоново поље сила припада типу централних сила, код којих је момент импулса једнак 0.${\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {\dot {v}}}={\overrightarrow {r}}\times F(r){\frac {\overrightarrow {r}}{r}}$, а по својству векторског производа ${\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {r}}=0$, па је ${\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {v}}=mr^{2}{\dot {\phi }}{\overrightarrow {k}}$константа кретања.

Исти резултат лако добијамо из Лангражевог формализма:$-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}-{\partial L \over \partial \phi }=0$

$L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$=>${\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}$,јер је ${\partial L \over \partial \phi }=0$

Ẕ — број протона у језгри атома или редни број атома, ṁ — маса електрона, е — наелектрисање електрона, ε₀ — диелектричка пропустљивост вакуума.