Ротор (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу


Ротор векторског поља дефинише се као:[1], где је - вектор чије су компоненте функције Декартових координата.

Доказ[уреди]

Векторско поље на инфинитезималним декартовим контурама

Како се ротор векторског поља увек рачуна за вртложна поља, тј. поља са вртлогом бар у једној тачки, то нас занима гранични процес за малу контуру правоугаоног облика у равних ивица и као на слици, како би добили z-компоненту ротора векторског поља у датој тачки

, где је - циркулација векторског поља по контури површине , =

, добили смо

компоненту ротора векторског поља . Поступак се понавља за контуру у xOz равни или за , односно контуру yOz или за , те се добија почетно тврђење.

Ротор у генералисаним координатама[уреди]

При одређеним симетријама проблема, например цилиндричним или сферним, једноставније је посматрати ротор у генералисаним координатама.

Доказ[уреди]

. , где су -компоненте ротора дуж генералисаних ортова , , па се компонента рачуна као ,, стим да су Ламеови коефициенти и функције генералисаних координата.

добили смо компоненту ротора па цикличном пермуацијом координата добијамо остале компоненте, што се концизно изражава као:

Примери[уреди]

Магнетно поље око бесконачног праволинјског проводника са континуалном расподелом тока електрицитета[уреди]

Ово поље задовољава цилиндричну симетрију јер се особине система не мњају ротацијом око осе проводника за произвољни угао, те магнетно поље,- В не зависи од азимуталног угла -φ и описује се диференцијалном једначином: :, где је - а ј- густина електричне струје, μ0 - магнетна пропустљивост вакума. Услед цилиндричне симетрије, горња једначина постаје:=> ,

Појам векторског магнетног потенцијала[уреди]

Интеграција по затвореној струјној контури

Из Био Саваровог закона у интегралном облику:, где је I- јачина електричне струје кроз проводну контуру С, -инфинитезимална промена вектора положаја по контури С,, - вектор положаја тачке у којој се посматра магнетно поље струјне контуре С, - вектор положаја који шета по контури.

Како је за и то магнетно поље можемо изразити као , где је

одавде следи да је Магнетно поље вртложно јер је његова дивргенција једнака 0,

Доказ[уреди]

, али како је , јер је векторски производ колинеарних вектора увек 0 следи почетно тврђење.

Референце[уреди]

Спољашње везе[уреди]