Логаритамске једначине

У математици постоје неколико логаритамских једначина.

Алгебарске једначине

Коришћење једноставнијих операција

Људи користе логаритме да би упростили рачун. На пример, два броја могу бити помножена само користећи таблицу логаритама и сабирање.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	због	$b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	због	${\begin{matrix}{\frac {b^{m}}{b^{n}}}\end{matrix}}=b^{m-n}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	због	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	због	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Укидање експонената

Логаритми и експоненти (антилогаритми) са истом основом се поништавају.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	због	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	због	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Промена основе

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Ова једначина се користи за израчунавање логаритама на електронским калкулаторима. На пример, већина калкулатора има дугмад за ln и за log₁₀, али не и за log₂. Да бисмо нашли log₂(3), треба израчунати log₁₀(3) / log₁₀(2) (или ln(3)/ln(2), што је заправо иста ствар).

Из ове формуле произилази неколико ствари:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Тривијалне једначине

$\log _{b}(1)=0\!\,$	због	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	због	$b^{1}=b\!\,$

Једначине математичке анализе

Лимеси

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

Последњи лимес се често схвата као „логаритам расте спорије од било ког степена или корена x".

Извод логаритамске функције

${d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$

Интеграл логаритамске функције

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

што се за а=е своди на

$\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$

Неједнакости

${\frac {x}{1+x}}\leq \log(1+x)\leq x{\mbox{ за све }}-1<x$

${\frac {2x}{2+x}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\leq \log(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}{\mbox{ за }}0\leq x{\mbox{, обрнуто за }}-1<x\leq 0$

Обе неједнакости су прилично оштре око x=0, али не и за велико x.

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. „Logarithm”. MathWorld. 
• Логаритам на сајту www.mathwords.com