Трансцендентан број

Трансцедентан број је појам којим се у математици означава број (реалан или комплексан) који није решење ниједне алгебарске једначине са рационалним коефицијентима. Сви трансцедентни бројеви су ирационални, али нису сви ирационални бројеви трансцедентни. На пример, е и пи су трансцедентни (и ирационални) док је ${\sqrt {2}}$ ирационалан али не и трансцедетан, јер је решење једначине $x^{2}-2=0$. Бројеви који нису трансцедентни се зову алгебарски.

Историја

Термин „трансцедентан број“ је сковао 1682. Лајбниц када је установио да синус није алгебарска функција свог аргумента, а у данашњем смислу их је први дефинисао Ојлер.

Доказ да трансцедентни бројеви постоје дао је Жозеф Лијувил 1844, а 1851. је и конструисао такав број:

$\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots$

тј., број код кога су децимале јединице ако је њихов редни број факторијел природног броја (1, 2, 6, 24,...), а у свим другим случајвима је нула.

Први број који није специјално конструисан, а за који је доказано да је трансцедентан је е, доказ је 1873. дао Шарл Ермит.

Следеће године је Георг Кантор доказао да алгебарских бројева има пребројиво бесконачно много, док је трансцедентних непребројиво бесконачно много. Кантор је 1878. доказао да трансцедентних бројева има исто колико и реалних, односно да су исте кардиналности.

Фердинанд фон Линдеман је 1882. доказао да је е на било који алгебарски степен који није нула трансцедентан број, одакле је као специјалан случај доказана трансцедентност броја π (јер је $e^{i\pi ;}=-1$).

Давид Хилберт је 1900. у склопу својих чувених проблема, као 7. проблем поставио питање:

Ако је a алгебарски број који није нула нити један, а b ирационалан број, да ли је $a^{b}$ (нпр. $2^{\sqrt {2}}$) увек трансцедентан?

Потврдан одговор је стигао 1934. у виду Гелфонд-Шнајдерове теореме.

Примери

• $e^{a}$, где је a алгебарски број различит од нуле
• $\ln {x}$, за x различито од нуле и јединице
• $e^{\pi }=i^{i}$ Гелфондова константа
• $\sin {x}$, $\cos {x}$, $\tan {x}$, за алгебарско x
• $a^{b}$ где је a алгебарски број различит од нуле и јединице, а b ирационалан број, у посебном случају $2^{\sqrt {2}}$ — Гелфонд-Шнајдерова константа
• Шампернаунова константа: 0,1234567891011121314151617181920...

Међутим, осим за Гелфондову константу, ни за једну другу комбинацију (збир, разлика, производ, количник, степен) е и π није познато да је трансцедентна: $e+\pi$, $e-\pi$, $e\pi$, $\pi /e$, $\pi ^{e}$, $e^{e}$, $\pi ^{\pi }$

Види још

• е
• пи