Сферни хармоници

Из Википедије, слободне енциклопедије

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама. Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

и решење су једначине:

Лапласова једначина[уреди]

Лапласова једначина у сферним координатама има облик:

Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:

Сепарацијом варијабли добија се:

Множећи са и делећи са добија се:

односно добијају се две једначине:

Угаона једначина

може даље да се сепарира по две варијабле:

Одатле се добија:

тј. две једначине:

Решење прве једначине је: Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено . Коначно за угао добија се једначина:

Уведемо ли супституцију добија се:

<

односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми . Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ па добијамо:

Исто тако треба да се нормира и по другом углу , па се добија:

.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

Нека својства[уреди]

Сферни хармоници су ортогонални:

.

Задовољавају релацију потпуности:

Осим тога у случају трансформација вреди:

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

где су , and цели бројеви.

Адициона теорема[уреди]

Претпоставимо да су два јединична вектора и предстaвљена у сферним кординатама односно . Угао између два вектора је онда:

Адиционa теоремa за сферне хармонике је:

За случај када се ради о истом вектору добија се:

Развој по сферним хармоницима[уреди]

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

а коефицијенти су:

Табела неких сферних хармоника[уреди]

Првих неколико сферних хармоника
Ylm l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3
m = −2
m = −1
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Сферни хармоници
  • Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
  • Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9. 
  • Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on and ”, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, 57 (7): 2345—2360, ISSN 0373-0956, MR2394544 
  • MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
  • Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: The application to quantum mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-43798-9. .
  • Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9. .
  • Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”, Annalen der Physik, 387 (3): 355—393, Bibcode:1927AnP...387..355U, doi:10.1002/andp.19273870304 .
  • Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, стр. 392 .
  • E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0104-3.
  • C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. ISBN 978-3-540-03600-5.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
  • J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
  • Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 6.7. Spherical Harmonics”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4