Таблице истинитости

Из Википедије, слободне енциклопедије

Таблица истинитости је математичка таблица коришђена у логици — посебно у комбинацији са Буловом алгебром. Практично, таблице истинитости се користе да би утврдили да ли је предложени израз истинит за дате вредности, тј да ли је логички тачан или лажан.

Таблица истинитости је сачињена од једне колоне за сваку задату променљиву (на пример, А или Б), и једне коначне колоне за све могуће резултате логичких операција које је табела требало да представи (на пример, А, екс или Б). Сваки ред таблице садржи по једну могућу комбинацију задатих параметара и њиховог јединственог решења. Погледајте примере ради бољег разумевања.

Унарне операције[уреди]

Логички идентитет[уреди]

Логички идентитет је логичка операција на једној логичкој вредности, типично вредност тврдње, који може бити тачан уколико је вредност тачна или лажан уколико је вредност лажна. - Таблица истинитости за логички идентитет изгледа овако:

Логички идентитет
p p
тврдња вредност
T T
F F

Логичка негација[уреди]

Логичка негација је логичка операција на једној логичкој вредности, типично вредност тврдње , која производи вредност тачно или лажно.

Таблица инстинитости за Не p (другачије ¬p, Np, Fpq, или ~p) :

Логичка негација
p ¬p
T F
F T

Бинарне операције[уреди]

Таблица инстинитости за све бинарне логичке операције[уреди]

Овде имамо таблицу инстинитости која нам дефинише свих 16 могућих истинитосних функција за 2 бинарне вредности (P,Q су боолеан вредности):

P Q  F0   НИЛИ1   Xq2   ¬p3   4   ¬q5   ХИЛИ6   НИЛИ7   И8   XNИЛИ9  q10 ако/онда11 p12 онда/ако13 И14 T15
T T F F F F F F F F T T T T T T T T
T F F F F F T T T T F F F F T T T T
F T F F T T F F T T F F T T F F T T
F F F T F T F T F T F T F T F T F T

Где је T = тачно и F = нетачно.

Кључ:

Назив операције
0 Opq F лажно Контрадикција
1 Xpq НИЛИ Логичко НИ
2 Mpq Xq Инверзна неимпликација
3 Fpq Np ¬p Негација
4 Lpq Xp Материјална неимпликација
5 Gpq Nq ¬q Негација
6 Jpq XI Искључива дисјункција
7 Dpq НИЛИ Логочко НИЛИ
8 Kpq I Логичко раскршће
9 Epq XНИ ако и само ако Логички биокондиционал
10 Hpq q Функција пројекције
11 Cpq XNp ако/онда Материјална импликација
12 Ipq p Функција пројекције
13 Bpq XNq онда/ако Обрнута импликација
14 Apq ИЛИ Логичка дисјункција
15 Vpq T тачно Таутологија

Логичке операције се могу визуализовати коришћењем Веновог дијаграма.

Логичка конјункција[уреди]

Логичка конјункција је логичка операција на две логичке вредности, типично вредности два предлога, која производи вредносттачно ако су обе операције тачне.

Таблица истинитости за p и q (другачије написани p ∧ q, Kpq, p & q, ИЛИ p \cdot q) изгледа овако:

Логичка конјункција
p q pq
T T T
T F F
F T F
F F F

Простим језиком, ако су обе вредности p и q тачне, онда је конјункција pq тачна, у супротном је лажна.

Може се такође рећи да ако p онда pq следи q у супротном pq следи p

Логичка дисјункција[уреди]

Логичка дисјункција је логичка операција на две логичке вредности, типично вредност два предлога, тако да дају вредност тачно уколико је бар један од операната тачан.

Таблица истинитости за p ИЛИ q (такође дефинисана као p ∨ q, Apq, p || q, ИЛИ p + q) изгледа овако:

Логичка дисјункција
p q pq
T T T
T F T
F T T
F F F

Просто српски, ако p, онда pq је p, у супротном pq је q.

Логичка импликација[уреди]

Логичка импликација и материјални кондиционал су повезани са логичком операцијом на две логичке вредности, типично вредности предлога, који има вредност лажно као су сингуларном случају када је један оперант тачан а други лажан.

Таблица истинитости повезана са материјалним кондиционалом ако p онда q (означено и као p → q) и логичка импликација p имплицира q (означено и као p ⇒ q, ИЛИ Cpq) изгледа овако:

Логичка импликација
p q pq
T T T
T F F
F T T
F F T

Корисно је рећи да p → q је еквивалентно ¬p ∨ q.

Логичка једнакост[уреди]

На енглеском Logical equality,biconditional. (детањније информације на енглеској википедији) Логичка једнакост (такође позната као бикондиционал, материјални биокондиционал) је логичка операција на две логичке вредности, типично вредност два предлога, која производи вредност тачно ако су ова операнта лажна или оба су тачна.

Таблица истинитости за p ХНИ q (такође означено као p ↔ q, Epq, p = q, ИЛИ p ≡ q) изгледа овако:

Логичка једнакост
p q pq
T T T
T F F
F T F
F F T

Значи p EQ q је тачно ако су p и q оба тачна или оба лажна, и лажна ако имају различите истинитосне вредности.

Искључива дисјункција[уреди]

Искључива дисјункција је логичка операција на две логичке вредности, типично вредност два предлога, која производи вредност тачно ако је бар један од операната истинит тј тачан.

Таблица истинитости за p ХИЛИ q (такође означено као p ⊕ q, Jpq, ИЛИ p ≠ q) изгледа овако:

Искључива дисјункција
p q pq
T T F
T F T
F T T
F F F

за два предлога, ХИЛИ може да се напише овако (p = 1 ∧ q = 0) ∨ (p = 0 ∧ q = 1).

Логичко НИ[уреди]

Логичко НИ је логичка операција на две логичке вредности, типично вредност два предлога, која производи вредност лажно ако су оба операнта тачна. Другим речима, даје вредност тачно ако је бар један од операната лажан.

Таблица истинитости за p НИ q (такође означено као p ↑ q, Dpq, ИЛИ p | q) изгледа овако:

Логичко НИ
p q pq
T T F
T F T
F T T
F F T

Често сложеније операције моземо изразити комбинацијом елементарних.

Логичко НИ је очигледно НЕ И И.

Негација конјункције: ¬(p ∧ q), и дисјункција негације: (¬p) ∨ (¬q) могу се приказати на следећи начин:

p q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ¬q p) ∨ (¬q)
T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T

Логичко НИЛИ[уреди]

Логичко НИЛИ је логичка операција на две логичке вредности, типично вредност два предлога, која производи вредност тачно ако су оба операнта лажна. Другим речима, даје вредност лажно ако је бар један од операната тачан. ↓ је такође познато као Пирсова стрелица по проналазачу , Чарлс Сандерс Перс , и назива се само задовољавајући оператор.

Таблица истинитости за p НИЛИ q (такође означено као p ↓ q, Xpq, ИЛИ p ⊥ q) изгледа овако:

Логичко НИЛИ
p q pq
T T F
T F F
F T F
F F T

Негација дисјункције ¬(p ∨ q), и конјункција негације (¬p) ∧ (¬q) могу се приказати овако:

p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q p) ∧ (¬q)
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T

Обратите пажњу на једнакост вредности за ¬(p ∨ q) и ¬(p ∧ q). Ова једнакост је једна од, и објашњена је у Де моргановим законима

Коришћење[уреди]

Таблице истинитости се могу користити за доказивање разних логичких еквиваленција, као на пример:

Логичка еквиваленција : (pq) = (¬pq)
p q ¬p ¬pq pq
T T F T T
T F F F F
F T T T T
F F T T T

Ово демонстрира чињеницу да је pq логично еквивалентно ¬pq.

Таблица истинитости за најчешће коришћене операторе[уреди]

Ово је таблица која даје дефиницје најчешће коришћених 6 операната.

P Q P \land Q P \lor Q P \underline{\lor} Q P \underline{\land} Q P \Rightarrow Q P \Leftarrow Q P \iff Q
T T T T F T T T T
T F F T T F F T F
F T F T T F T F F
F F F F F T T T T

Кључ:

T = тачно, F = лажно
\land = И (Логичка конјункција)
\lor = ИЛИ (Логичка дисјункција)
\underline{\lor} = ХИЛИ (ексклузивно ИЛИ)
\underline{\land} = ХНИЛИ (ексклузивно НИЛИ)
\rightarrow = кондиционал "ако-онда"
\leftarrow = кондиционал "(онда)-ако"
\iff бикондиционал ИЛИ "ако-и-само-ако" је логичка еквиваленција \underline{\and}: ХНИЛИ (ексклузивно НИЛИ).

Логички оператори могу бити визуализовани помоћу Веновог дијаграма.

Подразумеване таблице истинитости за бинарне операторе[уреди]

За бинарне операторе, се такође користи скраћена форма истинитосне таблице, где називи редова и колона указују на операторе и ћелије таблице указују на резултат. На пример Боолеан логика користи ову сажету нотацују таблицу истинитости:

F T
F F F
T F T
F T
F F T
T T T

Ова нотација је корисна поготово ако су операције комутативне, иако се може додатно спецификовати да су редови први операнд а колоне су други. Ова упросцена нотација је поготово корисна у дискутовању логичких екстензија са више вредности, јер значајно смањује број редова који нам је другачије потребан. Такође нам даје и прегледност.

Таблице истинитости у дигиталној логици[уреди]

Таблице истинитости се такође користе да спецификују функционалност хардверске look-up таблице(LUT)]] у дигиталној логици. За н-унос LUT, таблица истинитости ће имати 2^n вредности (или редова у гореприказаном табуларном формату), потпуно спецификујући боолеан функцију за LUT. Представљајући сваку боолеан вредност као бит у бинарни број, вредност у истинитосној таблици се може ефикасно кодирати као интеџер вредност у аутомизацији електронског дизајна (EDA) софтвер. На пример, 32-битни интиџер може да се кодира истинитосну таблицу за LUT са до 5 уноса.

Кад се користи интиџер репрезентацију за истинитосну таблицу, излазна вредност LUT се може добити рачунањем битног индекса k базираног на улазним вредностима LUT, у том случају LUT 'ова излазна вредност је k'ти бит интиџера.

На пример, да бисмо испитали излазну вредност LUT 'а датог у низу од n боолеан улазних вредности, битни идекс излазних вредности таблице истинитости може бити израчунат на следећи начин: ако је iти унос тачан, нека Vi = 1, у супротном нека Vi = 0. Онда ће kти бит бинарне репрезентације таблице истинитости бити i LUT'ова излазна вредност, гдеk = V0*2^0 + V1*2^1 + V2*2^2 + ... + Vn*2^n.

Таблице истинитости су једноставне и практичан начин енкодовања боолеан функција, међутим са експоненцијалним растом како се број улаза повеђава, нису баш практичне и прегледне. Друге репрезентације које су више ефикасне, меморијски су текстуалне једначине и бинарни дијаграм.

Апликација таблица истинитости у дигиталној електроници[уреди]

У дигиталној електроници и рачунарским наукама, таблице истинитости се могу користити да смање основне булове операције без употребе логичке капије или кода.

На пример бинарно сабирање се може представити следећом таблицом истинитости:

A B | C R
1 1 | 1 0
1 0 | 0 1
0 1 | 0 1
0 0 | 0 0

где

A = Први оператор
B = Други оператор
C = Пивот
R = Резултат

Ова таблица истинитости се чита са лева на десно:

  • Вредност пара (A,B) једнак је вредности пара (C,R).
  • Или на овом примеру, A+B = R, са пивотом C.

Обратите пажњу да ова таблица не описује логичке операторе потребне за имплементацију ове операције, пре она наглашава функцију односа вредности уноса и излаза

Ово решење може се гледати и аритметички као модуо 2 бинерног сабирања, и као логички еквивалент ексклузивном или тј ексклузивној дисјункцији.

У овом случају мозе се узети за само веома једноставне улазне и излазне вредности, као сто су 1 и 0, ипак како се број променљивих повећава тако ће и таблица расти.

На пример , у операцији сабирања, потребна су два операнта, А и Б. Сваки од њих може да има једну од две вредности, 0 или 1 . Број комбинација је 2х2, или 4. ТЈ, имамо 4 могућа излаза за С и R. Ако би за базу користили 3, величина би била 3х3, илити 9 могућих решења.

Први пример сабирања се зове полу-додавање. Пуно-додавање је када пивот из претходне операције добијемо као улаз за следеће додавање. Сто ће нам рећи да нам је потребна таблица истинитости од 8 редова како бисмо описали проблем.

A B C* | C R
0 0 0  | 0 0
0 1 0  | 0 1
1 0 0  | 0 1
1 1 0  | 1 0
0 0 1  | 0 1
0 1 1  | 1 0
1 0 1  | 1 0
1 1 1  | 1 1

Исто као претходно, али ...
C* = Пивот из претходног додавања

Istorija[уреди]

Irving Anellis је урадио истраживање да показе да је C.S. Pierce најранији логичар(1893). Цитат из текста:

Џон Шоски је, гледајући задњу страну Бертранд Раселовог предавања о Филозофији Логичког Атомизма, 1997 године открио матрице таблице истинитости. Матрица за негацију је Раселова, у складу је са матрицом за материјалну импликацију, која је дело Витгенштајна. Показано је да један необјављени Пирсов рукопис из 1893 садржи таблицу истинитости која је еквивалентна матрици материјалне импликације коју је открио Џон Шоски. Необјављени Пирсов рукопис, за који је показано да потиче из 1883-84, у вези са Пирсовим делом „О Алгебри Логике: Допринос Филозофији Нотације“, објављеном у American Journal of Mathematics из 1885, садржи у себи пример индиректне таблице истинитости за кондиционал.

Види још[уреди]

Reference[уреди]

Додатна литература[уреди]

  • Bocheński, Józef Maria (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated from the French и German editions by Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
  • Enderton, H. (2001). A Mathematical Introduction to Logic, second edition, New York: Harcourt Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3.
  • Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, 4th edition, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Таблице истинитости