Тејлоров полином

Из Википедије, слободне енциклопедије
Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору. Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Дефиниција[уреди]

Тејлоров ред за неку сталну функцију са бесконачно пуно извода за изабрану тачку јесте дефинисан овако:

Тејлоровим остатком полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

Када функција има више аргумената, примењујемо:

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

где је градијент, а Хесеов матрикс.

Конвергентност[уреди]

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све . У ствари, он конвергира само онда када остатак, , конвергира према 0.

Када је сама степени ред око тачке , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Примери[уреди]

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова[уреди]

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај добијамо ред који конвергира само у интервалу .

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле[уреди]

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам[уреди]

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

Када изаберемо за неко , овај ред конвергира ка .

Тригонометријске функције[уреди]

За добијамо следеће редове:

, притом је по реду Бернулијев број.
, где је по реду Ојлеров број.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.