Тејлоров полином

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.
Експоненцијална функција (плаво), и сума првих n+1 чланова њеног Тејлоровог реда у 0 (црвено).

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци.[1][2][3] Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Дефиниција[уреди]

Тејлоров ред за неку сталну функцију са бесконачно пуно извода за изабрану тачку јесте дефинисан овако:

Тејлоровим остатком полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

Када функција има више аргумената, примењујемо:

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

где је градијент, а Хесова матрица.

Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (xa)0 и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.[4]

Конвергентност[уреди]

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све . У ствари, он конвергира само онда када остатак, , конвергира према 0.

Када је сама степени ред око тачке , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Примери[уреди]

Маклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1 − x)−1 је геометријски ред

тако да Тејлоров ред за x−1 u a = 1

Интеграцијом горњег Маклореновогреда проналази се Маклоренов ред за −log(1  − x), gde log означава природни логаритам:

а одговарајући Тејлоров ред за log(x) у a = 1 је

Тејлоров ред за експоненцијалну функцију у је

Горњи израз важи зато што је деривација од ex такође ex, а e0 једнако је 1. Ово оставља чланове (x − 0)n у бројиоцу, а n! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова[уреди]

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај добијамо ред који конвергира само у интервалу .

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле[уреди]

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам[уреди]

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

Када изаберемо за неко , овај ред конвергира ка .

Тригонометријске функције[уреди]

За добијамо следеће редове:

, притом је по реду Бернулијев број.
, где је по реду Ојлеров број.

Списак Тејлорових редова неких уобичајних функција[уреди]

Такође погледајте: Списак математичких редова
Косинусна функција у комплексној равни.
Осми степен апроксимације косинусне функције у комплексној равни.
Две горње криве постављене заједно.

Следи неколико важних проширења Мацлауринових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе .

Експоненцијална функција:

Природни логаритам:

Коначан геометријски ред:

Бесконачан геометријски ред:

Варијанте бесконачних геометријских редова:

Квадратни корен:

Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):

са општим биномним коефицијентима

Тригонометријске функције:

Где је B Бернулијев број.

Хиперболичка функција:

Ламбертова W функција:

Бројеви Bk, који се појављују у сумирању при развијању tan(x) и tanh(x) представљају Бернулијев број. Ek у развијању sec(x) је Ојлеров број.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ „Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala” (PDF). MAT 314. Canisius College. Архивирано (PDF) из оригинала на датум 2015-02-23. Приступљено 2006-07-09. 
  2. ^ S. G. Dani (2012). „Ancient Indian Mathematics – A Conspectus”. Resonance. 17 (3): 236—246. doi:10.1007/s12045-012-0022-y. 
  3. ^ Ranjan Roy, The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha, Mathematics Magazine Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 291-306.
  4. ^ Thomas & Finney 1996, §8.9

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]