С Википедије, слободне енциклопедије
Успонска функција (или рампа функција) је унарна функција над пољем реалних бројева . Дефинише се као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности .
Ова функција се доста користи у инжењерству (нпр. у теорији обраде сигнала). Име је добила због изгледа њеног графика.
Успонска функција (
R
(
x
)
:
R
→
R
{\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
Преко система једначина :
R
(
x
)
:=
{
x
,
x
≥
0
;
0
,
x
<
0
{\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}
Преко функције максимума :
R
(
x
)
:=
max
(
x
,
0
)
{\displaystyle R(x):=\operatorname {max} (x,0)}
Као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности:
R
(
x
)
:=
x
+
|
x
|
2
{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}
до чега се може доћи и гледајући дефиницију функције
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {max} (a,b)}
max
(
a
,
b
)
=
a
+
b
+
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle \operatorname {max} (a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}
за
a
=
x
{\displaystyle a=x}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
Множењем улазне променљиве са :
R
(
x
)
:=
x
H
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}
Конволуцијом Хевисајдове функције са самом собом:
R
(
x
)
:=
H
(
x
)
∗
H
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}
Интеграцијом Хевисајдове функције:
R
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }
Успонска функција је ненегативна на целом њеном домену , па јој је апсолутна вредност једнака самој себи.
∀
x
∈
R
:
R
(
x
)
⩾
0
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0}
и
|
R
(
x
)
|
=
R
(
x
)
{\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)}
Извод успонске функције је Хевисајдова функција :
R
′
(
x
)
=
H
(
x
)
{\displaystyle R'(x)=H(x)}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
Успонска функција
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
d
2
d
x
2
R
(
x
−
x
0
)
=
δ
(
x
−
x
0
)
,
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),}
где је
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
Диракова делта функција . Ово значи да је успонска функција
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
Гринова функција за оператор другог извода. То значи да свака непрекидна функција
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
f
′
(
a
)
+
∫
a
b
R
(
x
−
x
0
)
f
″
(
x
0
)
d
x
0
,
{\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-x_{0})f''(x_{0})\operatorname {d} x_{0},}
за
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b}
F
{
R
(
x
)
}
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}
=
{\displaystyle =}
∫
−
∞
∞
R
(
x
)
e
−
2
π
i
f
x
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}
=
{\displaystyle =}
i
δ
′
(
f
)
4
π
−
1
4
π
2
f
2
,
{\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}
где је
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
Диракова делта функција (у једначини изнад се појављује њен извод).
Једнострана Лапласова трансформација успонске функције
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
L
{
R
(
x
)
}
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
x
R
(
x
)
d
x
=
1
s
2
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}
