Функција расподеле простих бројева

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

У математици, функција расподеле простих бројева је функција расподеле броја простих бројева мањих или једнаких некој стварном броју x.[1][2] Означава се (неповезани са бројем π).

Вредности π(n) за првих 60 целих бројева

Историја[уреди]

Од великог интересовања у теорији бројева је стопа раста функције расподеле простих бројева.[3][4] То су претпоставили крајем 18. века Гаус и Лежандр да буде приближно

у смислу да

Овај израз је теорема простих бројева. Еквивалентни израз је

где јеli је логаритамска интегрална функција. Теорему простих бројева је први пут доказао 1896. године Жак Адамард и Чарлс де ла Вале Пусон самостално, користећи својства Риманова зета функцији коју је увео Риман 1859. године.

Прецизније процене које су сада познате; на пример

где је О је бележење за велико О. За већину вредности  ми смо заинтересовани за (то јест, када није неразумно велики) је већи од , али бескрајно често је супротно. За расправу о томе, погледај Скјуесов број.

Докази о теореми простих бројева не користе зета функцију или сложене анализе које су пронађени око 1948. године Атл Селберг и Пол Ердош(у највећој мери независно).[5]

Табеле π(x), x / ln x, и li(x)[уреди]

Табела приказује како су три функције π(x), x / ln x и li(x) упоређујуће на степен 10. Види још,[3][6][7]иd[8]

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1,229 143 17 8.137
105 9,592 906 38 10.425
106 78,498 6,116 130 12.740
107 664,579 44,158 339 15.047
108 5,761,455 332,774 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546
1026 1,699,246,750,872,437,141,327,603 28,883,358,936,853,188,823,261 155,891,678,121 58.850
График показује однос функције расподеле простих бројева π(x)до две своје апроксимације, x/ln x и Li(x). Као x расте ( напомена x оса је логаритамска), оба односа нагињу ка 1. Однос за x/ln x конвергира одозго врло споро, док је однос за Li(x) конвергира брже одоздо.

У онлајн енциклопедији целих секвенци, π(x)Колона је секвенца А006880 π(x) - x / ln x је секвенц OEISA057835, и li(x) − π(x) је секвенца OEISA057752.

Вредност за π(1024)су првобитно израчунава Ј. Ботх, Ј. Франке, А. Џост, и Т. Клејњунг под претпоставком Риманове хипотезе.[9] Касније је проверио безусловним израчунавањем Д. Ј. Плат.[10] За вредност π(1025)је због Ј. Ботх, Ј. Франке, А. Џост, и Т. Клеињунг.[11] За вредност π(1026)израчунао је Д. Б. Стапл.[12] Сви остали уписи у овој табели су верификовани као делови тог посла.

Алгоритми за вредновање π(x)[уреди]

Једноставан начин да се пронађе , ако  није превелико, је да се користи Ератостеново сито и произведу прости бројеви мањи или једнакиа затим их пребројати.

Подробнији начин проналажења је због Лежандреја: дато , ако су различити прости бројеви, онда је број целих бројева мањи или једнак који су недељиви са је

(где  означава спрат функцију). Овај број је стога једнак

када бројеви  су прости бројеви мањи или једнаки од кв.корена .

У серији текстова објављених између 1870. и 1885. године Ернест Мејсел описује (и користи) практичан начин вредновања комбинаторног . Let где први  прости бројеви и означавају стране број природних бројева не већи о који нису дељив са . Тада

Датје природан број , ако и ако , тада

користећи овај приступ, Мејсел је израчунао , за  једнако 5×105, 106, 107, и 108.

Године 1959, Дерик Хенри Лехмер је проширио и поједноставио Мејселобу методу. Дефинисати, за реалан  и за природне бројев  и , као број бројева није већи од m са тачно k простим чиниоцем, бољим од . Осим тога, комплет . Тада

где збир заправо има само коначно много различитих од нула услове. означава цео број такав да је , и склоп . Тада  и  када  ≥ 3. Стога

Прорачун може се добити на овај начин:

С друге стране, рачунање може бити урађено користећи следећа правила:

Користећи свој метод и IBM 701, Лехмер је могао да израчуна .

Даљи напредак ове метода су направили Лагаријас, Милер, Одлиско, Делеглиз и Риват.[13]

Друге функције расподеле простих бројева[уреди]

Друге функције расподеле простих бројева се користе јер су погодније за рад. Једна је Риманова функција расподеле простих бројева, обично означена као или . Овај скок 1/n за просте степене pn, уз то узимање вредности на пола пута између две стране у дисконтинуитету. Детаљ је додат јер онда може бити дефинисан од стране супротности. Мелин га је преобразио. Формално, можемо дефинисати  као

где је p прост број. 

Могуће је и написати

гдеје Λ(n) вон Манголдотова функција и 

Мебијусова инверзна формула даје

Знајући однос између Риманове зета функције и вон Манголдотове функције  , и коришћењем Перонове формуле имамо

Чебишева функција тежине простих бројева или простих степена pn од ln(p):

Пиманова функција расподеле простих бројева има обичну производну функцију која се може изразити у смислу формалне серије степена као:

Формуле за функције расподеле простих бројева[уреди]

Формула за функције расподеле простих бројева се јављају у две врсте: аритметичке формула и аналитичке формула. Аналитичке формуле за расподелу простих бројева биле су први пут употребљене да се докаже проста теорема бројева. Оне произилазе из Римановог и вон Манголдотовог рада, и опште су позната као експлицитне формуле.[14]

Имамо следећи израз за ψ:

где 

Овде ρ су нуле Риманова зета функција у критичној траци, где је права дели ρ је између нула и јединице. Формула важи за вредности xвећи од један, што је област интересовања. Износ по корену је условно конвергира, а треба узети у циљу повећања апсолутну вредност имагинарног дела. Имајте на уму да исту сума над тривијалним кореновима даје последње одузимање у формули.

за имамо више сложену формулу

Поново, формула је валидна за x > 1, док  ρ су нетривијалне нуле зета функције према њиховој апсолутној вриједности, а, опет, други интегрални, узет са минус знаком, је исто сума, али током тривијалних нула. Први термин li(x)је уобичајена логаритамска интегрална функција; израз li(xρ) у другом термину треба сматрати Ei(ρ ln x), где Ei је аналитички наставак експоненцијалне интегралне функције из позитивних реалних бројева у комплексној равни са гране дуж негативних реалних бројева.

Дакле Мебијусова инверзна функција нам даје[15]

за x > 1, где

је такозвана Риманова Р-функција.[16] Последња серија која је позната је Грамова серија [17] и конвергира за све позитивн x.

Збир свих нетривијалних зета нула у формули за  описује флустрације , док  преостали термини дају "углађене" делове функције расподеле простих бројева,[18] па може се користити

као најбољи естиматор  за x > 1.

Амплитуда "буке" је хеуристички део о , тако да флуктуације расподеле простих бројева могу бити јасно представљене са Δ-функцијом:

Вредносна табела Δ(x) је доступна.[7]

Неједнакости[уреди]

Ово су неке неједнакости за π(x).

за x ≥ 17.[19]

Лева неједнакост прати за  x ≥ 17 и десна неједнакост прати за x > 1.  

Објашњење константе 1.25506 дато је као (секвенца А209883 у ОЕИС)

Пјер Дурсат је доказао 2010 године:

за , и
за .[20]

Ово су неке неједнакости за n-ти просте бројеве, pn.[21]

за n ≥ 6.

Лева неједнакост показује за n ≥ 1 и десна неједнакост показује за  n ≥ 6.

Апроксимација за n-ти прост број је

Риманова хипотеза[уреди]

Риманова хипотеза је еквивалнтна много чвршћим везаним грешкама у процени за , и стога је више ка редовној дистрибуцији простих бројева,

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996).
  2. ^ Weisstein, Eric W., "Prime Counting Function", MathWorld.
  3. 3,0 3,1 "How many primes are there?"
  4. ^ Dickson, Leonard Eugene (2005).
  5. ^ Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998).
  6. ^ "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)".
  7. 7,0 7,1 "Values of π(x) and Δ(x) for various x's".
  8. ^ "A table of values of pi(x)".
  9. ^ "Conditional Calculation of pi(1024)".
  10. ^ "Computing π(x) Analytically)".
  11. ^ "How Many Primes Are There?"
  12. ^ "The combinatorial algorithm for computing pi(x)".
  13. ^ "Computing π(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method" (PDF).
  14. ^ Titchmarsh, E.C. (1960).
  15. ^ Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970).
  16. ^ Weisstein, Eric W., "Riemann Prime Counting Function", MathWorld.
  17. ^ Weisstein, Eric W., "Gram Series", MathWorld.
  18. ^ "The encoding of the prime distribution by the zeta zeros".
  19. ^ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962).
  20. ^ Dusart, Pierre.
  21. ^ Inequalities for the n-th prime number at function.wolfram, retrieved March 22, 2013

Спољашње везе[уреди]