Teorija Galoa

Dijagram rešetke ℚ susednih pozitivnih kvadratnih korena od 2 i 3, njihovih potpolja, i grupa Galoa.

U matematici, teorija Galoa pruža vezu između teorije polja i teorije grupa. Korištenjem teorije Galoa, izvesni problemi u teoriji polja mogu se svesti na teoriju grupa, što je na neki način jednostavnije i lakše razumljivo. Ona je korišćena za rešavanje klasičnih problema, uključujući napor kojim je pokazano da se dva antička problema ne mogu rešiti na način na koji su navedeni (udvostručenje kocke i trisektiranje ugla; treći antički problem, kvadratura kruga, takođe je nerešiv, ali je to pokazano drugim metodima); pokazano je da ne postoji kvintna formula; i pokazano je koji se poligoni mogu konstruisati.

Teorija je nazvana po Evaristu Galoa, koji ju je uveo radi proučavanja korena polinoma i karakterizacije polinomskih jednačina koje su rešive radikalima u smislu svojstava permutacijske grupe njihovih korena - jednačina je rešiva radikalima ako se njeni koreni mogu izraziti formulom koja uključuje samo cele brojeve, n-te korene i četiri osnovne aritmetičke operacije.

Ovu teoriju su popularizovali mnogi matematičari i dalje su je razvili Ričard Dedekind, Leopold Kroneker, Emil Artin i drugi koji su permutacijsku grupu korena tumačili kao grupu automorfizma ekstenzije polja.

Teorija Galoa je bila generalizovana do Galoaovih veza i teorije Grotendika Galoa.

Primene na klasične probleme

Nastanak i razvoj teorije Galoa bio je uzrokovan sledećim pitanjem, koje je bilo jedno od glavnih otvorenih matematičkih pitanja do početka 19. veka:

Da li postoji formula za korene polinomske jednačine petog (ili višeg) stepena u smislu koeficijenata polinoma, koristeći samo uobičajene algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje) i primenu radikala (kvadratne korene, kubne korene, etc)?

Abel-Rafinijeva teorema pruža suprotni primer kojim se dokazuje da postoje polinomske jednačine za koje takva formula ne može da postoji. Teorija Galoa daje znatno kompletniji odgovor na ovo pitanje, objašnjavajući zašto je moguće da se reše neke jednačine, uključujući sve one sa stepenom četiri ili manje, u gornjem maniru, i zašto to nije moguće za većinu jednačina stepena pet ili više. Dalje, ona daje konceptualno jasan i lak za transformisanje u algoritam, način da se utvrdi kada se data jednačina višeg stepena može rešiti na taj način.

Teorija Galoa daje jasan uvid u pitanja koja se tiču problema pri konstrukciji lenjirom i šestarom. Ona daje elegantnu karakterizaciju odnosa dužina koji se mogu konstruirati ovom metodom. Koristeći to, postaje relativno lako odgovoriti na klasične probleme geometrije kao su

• Koji se regularni poligoni mogu konstruisati?
• Zašto nije moguće trisektirati svaki ugao pomoću lenjira i šestara?
• Zašto udvostručavanje kocke nije moguće istom metodom?

Literatura

• Artin, Emil (1998). Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4.  (Reprinting of second revised edition of 1944, The University of Notre Dame Press).
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. doi:10.1090/stml/035.  .
• Cardano, Gerolamo (1545). Artis Magnæ (PDF) (на језику: Latin). Архивирано из оригинала (PDF) на датум 26. 06. 2008. Приступљено 01. 03. 2020. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X.  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). „A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. American Mathematical Monthly. 37 (7): 357—365. JSTOR 2299273. doi:10.2307/2299273. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Galois theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd изд.). W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois Theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. 
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
• Postnikov, M. M. (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. 
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-98541-7. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (на језику: German). Berlin: Springer. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза). English translation (of 2nd revised edition): Modern Algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: Introduction to lattices and Order, Cambridge University Press, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. (Freely available online in various file formats PS.GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)
• Mac Lane, Saunders (septembar 1998). Categories for the Working Mathematician (Second изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5.
• Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer. Math. Soc. Coll. Pub., Vol 25, 1940
• Ore, Øystein (1944), „Galois Connexions”, Transactions of the American Mathematical Society, 55: 493—513, doi:10.2307/1990305 
• Grothendieck, A.; et al. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961'. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 
• Joyal, André; Tierney, Myles (1984). An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. Proquest Info & Learning. ISBN 0-8218-2312-4. 
• Borceux, F. and Janelidze, G., Cambridge University Press (2001). Galois theories, ISBN 0-521-80309-8 (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Szamuely, T., Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 2009.
• Dubuc, E. J and de la Vega, C. S., On the Galois theory of Grothendieck, https://arxiv.org/abs/math/0009145v1

Spoljašnje veze

• Excerpted from Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., 1996 Архивирано на сајту Wayback Machine (11. јул 2007)
• An Introduction to Galois Theory
• Fields and Galois Theory - J.S. Milne
• Online textbooks in French, German, Italian and English