Аритметика

Из Википедије, слободне енциклопедије
Сабирање је пример аритметичке операције
Аритметичке табеле за децу, Лозана, 1835

Аритметика (од грчког ἀριθμός arithmos, "број") грана је математике која бележи основне особине одређених операција са бројевима. Аритметика је елементарни део теорије бројева, и теорија бројева се сматра једним од основних нивоа поделе модерне математике, заједно са алгебром, геометријом, и анализом. Термина аритметика и виша аритметика су кориштени до почетка 20. века као синоними за теорију бројеви и понекад се још увек користе као назив за шири део теорије бројева.[1]

Постоје четири операције: сабирање, одузимање, множење и дељење, иако се понекад овде уврштавају и напредније операције, као што су дизање на квадрат (квадрирање) и вађење корена (кореновање). У аритметици постоји првенство операција где множење и дељење имају предност над сабирањем и одузимањем. Стављањем у заграде, које имају предност у односу на друге операције, је могуће променити редослед израчунавања у изразима.

Аритметика природних, целих, рационалних (у облику разломака) и реалних бројева (који имају децимале) обично се учи у основној школи. Тада се учи и процентни рачун, односно представљање бројева помоћу постотака. Ипак, већина одраслих ослања се на калкулаторе, рачунаре или абакусе да би израчунала аритметичке операције.

Појам „аритметика“ користи се и за основну теорију бројева; у том контексту се појављују и Основна теорема аритметике и аритметичке функције.

Историја[уреди]

Преисторија аритметике је ограничена на мали број артефаката који могу да индицрају постојање концепата сабирања и одузимања. Најпознатији је Ишанго кост из централне Африке, која потиче и периода између 20.000 и 18.000 п. н. е, мада је њена интерпретација спорна.[2]

Најранији писани рекорди индицирају да су Египћани и Вавилонци користили све елементарне аритметичке операције још пре 2000 п. н. е. Ови артефакти не откривају увек специфичан процес који је кориштен за решавање проблема, мада карактеристике датог нумеричког система снажно утичу на комплексност метода. Хијероглифски систем Египатских бројева, као и каснији римски бројеви, изведени су из белешки кориштених за пребројавање. У оба случаја, такво порекло је довело до вредности које се користе у децималној основи, али позициона нотација није обухваћена. Комплексни прорачуни са римским цифрама се могу спровести уз помоћ бројчанице или римског абакуса.

Рани бројевни системи који су обухватали позициону нотацију нису били децимални. Примери таквих система су сексагезимални (основа 60) систем за вавилонске бројеве и вигезимални (основа 20) систем који су дефинисали мајански бројеви. Захваљујући концепту места и вредности, могућност поновне употребе истих цифара за различите вредности допринела је развоју једноставнијих и ефикаснијих метода рачунања.

Континуални историјски развој модерне аритметке започео је са Хеленистичком цивилизацијом античке Грчке, мада она потиче из знатно каснијег периода од Вавилонских и Египатских примера. Пре радова Еуклида око 300 п. н. е, грчке студије математике су се преклапале са филозофиским и мистичким веровањима. На пример, Никомах је сумирао гледиште ранијег питагорејског приступа бројевима, и њихових међусобних релација, у свом раду Увод у аритметику.

Грчке бројеве су користили Архимед, Диофантус и други у позиционој нотацији која се пуно не разликује од данашње. Пошто је античким Грцима недостајао симбол за нулу (до Хеленистичког периода), они су користили три засебна сета симбола. Један сет за јединично место, један за десетично место, и један за стотине. Затим за место хиљада они би поново користили симболе за јединично место, и тако даље. Њихов алгоритам сабирања је био идентичан данашњем, и њихов алгоритам множења се само незнатно разликовао. Њихов алгоритам дељења је био исти, и алгоритам квадратног корена, који се некад предавао у школама, је био познат Архимеду, а могуће је и да га је он изумео. Он га је преферирао у односу на Херонов метод сукцесивних апроксимација зато што кад се једном израчунају цифре оне се више не мењају, и квадратни корени перфектних квадрата, као што је 7485696, би се непосредно завршавали, попут 2736. За бројеве са фракционим делом, као што је 546,934, они су користили негативни степен од 60 уместо негативног степена од 10 за фракциони део 0,934.[3]

Антички Кинези су унапредили аритметичке студије почевши од времена династије Шанг и током династије Танг, од основних бројева до напредне алгебре. Антички Кинези су користили позициону нотацију сличну оној коју су користили Грци. Пошто им је недостајао симбол за нулу, они су имали један сет симбола за јединично место, и други сет за место десетица. За место стотина они су повово користили симболе јединичног места, и тако даље. Њихови симболи су били базирани на древним бројевним штапићима. Питање тачног одређивања времена када су кинези почели да рачунају са позиционом репрезентацијом је компликовано, али се зна да је то дефинитивно било пре 400. п. н. е.[4] Антички Кинези су први открили, разумели и применили негативне бројеве, као што је објашњено у Девет поглавља о математичкој вештини (Jiuzhang Suanshu), што је рад аутора Љу Хуи.

Постепеним развојем хинду–арапских бројева независно је развијен вредносно позициони концепт и позициона нотација, који комбинују једноставније методе за рачуње са децималном основом и употребом цифре за 0. Тиме је формиран систем за конзистентну репрезентацију великих и малих целих бројева. Тај приступ је временом заменио све друге системе. У раном 6. веку, индијски математичар Арјабхата је инкорпорирао постојећу верзију тог система у свој рад, и експериментисао је са различитим нотацијама. У 7. веку, Брамагупта је успоставио употребу симбола 0 као засебног броја и утврдио резултат множења, дељења, сабирања и одузимања нуле и свих других бројева, изузев резултата дељења нулом. Његов савременик, сиријски епископ Северус Себокхт (650.) је изјавио, „Индијци поседују метод рачунања који ни једна реч не може довољно похвалити. Њихов рационални систем математике, или њихов метод рачунања. Мислим да систем користи девет симбола.”[5] Арапи су исто тако знали за овај нови метод и називали су га хесаб.

Лајбницова машина је била први калкулатор који је могао да изводи све четири аритметичке операције.

Мада је Кодекс Вигиланус описао једну рану форму арапских бројева (без нуле) до 976, Леонардо од Пизе (Фибоначи) је првенствено одговоран за ширење њихове употребе у Европи, након објављивања његове књиге Liber Abaci 1202. године. Он је писао, „Метод Индијаца (латински Modus Indoram) превазилази били који други метод рачунања. То је изванредан метод. Они врше своја израчунавања користећи девет цифара и симбол нулу”.[6] У средњем веку, аритметика је била једна од седам либералних уметности предаваних на универзитетима.

Напредна алгебра средњовековног исламског света и ренесансне Европе је проистекла из енормног поједностављења рачунања применом децималне нотације. Разни типови оруђа су измишњени и широко кориштени као помагала у нумеричким прорачунима. Пре ренесансе, постојали су различити типови абакуса. Примери из ближе прошлости обухватају логаритмаре, номограме и механичке калкулаторе, као што је паскалина. У данашње време, сви ти уређаји су замењени електронским калкулаторима и рачунарима.

Аритметичке операције[уреди]

Основне аритметичке операције су сабирање, одузимање, множење и дељење, мада овај предмет обично обухвата и напредније операције, као што је манипулација процентима, квадратним коренима, степеновање, и логаритамске функције. Аритметика се изводи у складу са редоследом операција. Било који сет објеката на коме се све четири аритметичке операције (изузев дељења нулом) могу извршити, и где су те операције подложне уобичајеним законима, назива се поље.[7]

Сабирање[уреди]

Сабирање је основна рачунска операција аритметике. У свом најједноставнијем облику, сабрати два броја знаћи наћи број

Примери

Могу се сабрати више од 2 броја. То укључује сабирање бесконачно много бројева. Сабирање броја с неким бројем је најосновнији облик бројања.

Сабирањем броја и неког броја добијамо тај број.

је неутрални елемент за сабирање

Сабирањем 2 супротна броја добијамо број 0.

То је инверзан елемент за сабирање.

Важи закон комутације

Важи закон асоцијације

Сабрати се може и геометријски, као у следећем примеру:

Ако постоје два штапића дужине и и ако се ставе један за другим, тако да се крај првог поклапа са почетком другог штапића, добија се штап чија је дужина

.

Одузимање[уреди]

Одузимање је инверзна операција од сабирања. Резултат ове операције је разлика. Одузети број од броја значи наћи број односно значи наћи збир бројева i . То се записује са

Постоје следећи случајеви

  • Ако је , онда је
  • Ако је , онда је
  • Ако је , онда је

За одузимање не важи закон комутације, а ни асоцијације.

Множење[уреди]

Множење је друга основна рачунска операција аритметике. Помножити 2 броја знаћи наћи број

, а то је

Пример

За множење важи закон комутације

и асоцијације

Ако се број помножи са (неутални елемент), добија се број

Ако се број помножи са реципрочном вредности броја , добија се број .

Ово је инверзан број.

Било који број може имати реципрочну вредност осим .

Таблица множења[уреди]

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147 154 161 168 175
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184 192 200
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 216 225
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 231 242 253 264 275
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 300
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273 286 299 312 325
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 294 308 322 336 350
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360 375
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 336 352 368 384 400
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 357 374 391 408 425
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 378 396 414 432 450
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 399 418 437 456 475
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500
21 21 42 63 84 105 126 147 168 189 210 231 252 273 294 315 336 357 378 399 420 441 462 483 504 525
22 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396 418 440 462 484 506 528 550
23 23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 299 322 345 368 391 414 437 460 483 506 529 552 575
24 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 504 528 552 576 600
25 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625

Дељење[уреди]

Дељење је инверзна рачунска операција множењу. Није дефинисано дељење бројем . Поделити два броја знаћи наћи број односно наћи производ броја и реципрочне вредности броја .

То значи

Постоје случајеви

  • За
  • За
  • За

Не важи закон комутације, а ни асоцијације. За дељење написано као производ важе све особине које важе за множење.

Децимална аритметика[уреди]

Све врсте записа бројева могу се записати децималним записом. На пример запис броја је: . Овај запис бројева обухвата сва правила аритметичких операција:

Децимална репрезентација се ексклузивно односи, у обичној употреби, на писани нумерички систем који користи арапске цифре као бројеве са основом 10 („децималном”) позиционе нотације; међутим, сваки нумерички систем базиран на степену од 10, e.g., грчки, ћирилични, римски, или кинески бројеви могу концептуално бити описани као „децимална нотација” или „децимална репрезентација”.

Модерне методе за четири фундаменталне операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) је први је измислио Брамагупта у Индији. То је било познато у средњовековној Европи као Modus Indoram или метод Индуса. Позициона нотација (такође позната као „нотација места и вредности”) односи се на представљање и кодирање бројева користећи исти симбол за различите редове величине (e.g., „место јединица”, „место десетица”, „место стотина”) и, са радијском тачком, користећи те исте симболе за представљање фракција (e.g., „место десетих делова”, „место стотих делова”). На пример, 507,36 означава 5 стотина (102), плус 0 десетица (101), плус 7 јединица (100), плус 3 десетине (10−1), плус 6 стотине (10−2).

Концепт 0 као броја упоредивог са другим основним цифрама је есенцијалан за ову нотацију, као што је и концепт употребе нуле за резервисање места, и дефиниција множења и сабирања са нулом. Употреба нуле за резервисање места и стога употреба позиционе нотације је први пут забележена у ђаинизанском тексту из Индије са насловом Локавибхага, из 458. године и тек је раном 13. веку овај концепт, пренет преко учењака арапског света. У Европу га је увео Фибоначи[8] користећи индуско–арапски бројевни систем.

Алгоризам се састоји од правила за извођење аритметичких прорачуна користећи овај тип писаних цифара. На пример, сабирање производи суму дава арбитрарна броја. Резултат се израчунава понављањем додавања појединачних цифара из сваког броја које заузимају исту позицију, идући са десна на лево. Табела додавања са десет редова и десет колона приказује све могуће вредности свих сума. Ако једна индивидуална сума премаши вредност 9, резултат се представља са две цифре. Цифра с десне стране је вредност за тренутну позицију, а резултат накнадног додавања цифара с леве стране се повећава за вредност друге (леве) цифре, која је увек једнака јединици. Ово прилагођавање се назива преношењем вредности 1.

Процес множења два арбитрарна броја је сличан процесу сабирања. Табела множења са десет редова и десет колона наводи резултате за сваки пар цифара. Ако један индивидуални производ пара цифара премаши 9, преносно подешавање повећава резултат свакод наредног множења цифара на левој страни за вредност која је једнака другој (левој) цифри, што може да буде било која вредност у опсегу од 1 до 8 (9 × 9 = 81). Додатни кораци дефинишу финални резултат. Сличне технике постоје за одузимање и дељење.

Креирање коректног процеса за множење се ослања на односе између вредности суседних цифара. Вредност било које појединачне цифре броја зависи од њене позиције. Исто тако, свака позиција са леве стране представља вредност која је десет пута већа од дате позиције. У математичком смислу, експонент за базу од 10 се повећава за 1 (на лево) и смањује за 1 (на десно). Стога је вредност било које арбитрарне цифре помножена вредношћу облика 10n при чему је n цео број. Листа вредности које кореспондирају свим могућим позицијама појединачних цифри се пише као {..., 102, 10, 1, 10−1, 10−2, ...}.

Поновљено множење било које вредности у овој листи са 10 производи другу вредност на листи. У математичкој терминологији, ова карактеристика се дефинише као затвореност, и претходна листа се описује као затворена под множењем. Ово је основа за коректно налажење резултата множења користећи претходне технике. Овај исход је један од примера употребе теорије бројева.

Референце[уреди]

  1. Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th изд.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63446-5. 
  2. Rudman (2007). стр. 64.
  3. The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
  4. Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3. стр. 9, Cambridge University Press, 1959.
  5. Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327-338. (1929)
  6. Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.
  7. Tapson (1996)
  8. Leonardo Pisano - pp. 3: "Contributions to number theory". Encyclopædia Britannica Online, 2006. Приступљено 18 September 2006.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]