У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за
интегралом
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc5e96de265cc05f1099bd2fe5d212e41a74081)
Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fd6dbe52d6bd3daba0a8c254c8e72bed238a37)
одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}={\frac {mn}{m+n}}{{m+n} \choose {m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e173115fd27efdac3bd81da5fb774d0e7f7d2ee1)
тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или
непозитиван цео број.
Бета-функција је очигледно симетрична, односно
. Друга важна својства су тригонометријски облик
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5dc9fdb6db11d007a6d7fcc58efc2ac61b5e73)
и алтернативни интегрални облик
Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример
.
Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.
Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева
. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.
Види још: непотпуна бета-функција.
Доказ релације ![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b360bf221aec221f249d684cac5a0a1e349c85)
[уреди | уреди извор]
Према дефиницији гама-функције, имамо
Овај двоструки–поновљени интеграл по
, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по
, у којем затим уводимо смену
. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо
![{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}\left(\int _{0}^{w}u^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8318bf4d084e0a18d0eda1b8e4bed912a425c8)
Коначно, увођењем смене
у унутрашњем интегралу, следи