Periodičnost funkcije

Ilustracija periodične funkcije sa periodom $P.$

U matematici, periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrednosti u pravilnim intervalima ili periodima. Najvažniji primeri su trigonometrijske funkcije, koje se ponavljaju u intervalima od 2π radijana. Periodične funkcije se koriste u nauci za opisivanje oscilacija, talasa i drugih pojava koje pokazuju periodičnost. Svaka funkcija koja nije periodična naziva se aperiodna.

Definicija

Za funkciju realne promenljive $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ kažemo da je periodična sa periodom $T$, ako postoji $T>0$ takvo da važi:

$f(x+T)=f(x).$

Najmanji takav broj $T$ (ako postoji), naziva se osnovni period funkcije $f$.

Neke periodične funkcije

Sinusna i kosinusna funkcija

Glavni članak: Sinusoida

Glavni članak: Kosinusoida

Grafik f(x) = sin(x) i g(x) = cos(x); obe funkcije su periodične sa periodom 2π.

Sinusna i kosinusna funkcija, sinusoida i kosinusoida, obe su periodične funkcije i to obe sa periodom $2\pi$.

Funkcija "ceo deo"

Glavni članak: Funkcija "ceo deo"

Funkcija "ceo deo"

Funkcija "ceo deo" je periodična sa periodom 1.

Dirihleova funkcija

Glavni članak: Dirihleova funkcija

Jedna od interesantnih periodičnih funkcija je, recimo, Dirihleova funkcija $D\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}$ definisana kao:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} ,\end{cases}}$

koja je periodična, ali nema najmanji period.

Tomaova funkcija

Glavni članak: Tomaova funkcija

Tomaova funkcija

Modifikovana Dirihleova funkcija, koja zadržava njene karakteristične osobine, ali je grafički zanimljivija, je Tomaova funkcija.

Tomaova funkcija $D\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ se definiše kao:

$D(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}$

Vidi još

• Funkcija
• Sinusoida
• Kosinusoida
• Funkcija "ceo deo"
• Dirihleova funkcija
• Tomaova funkcija

Možda će te interesovati i neke druge osobine funkcija:

• Parnost
• Monotonost

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.