S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Sekans Osnovne osobine Parnost parna Domen (-π/2+kπ,π/2+kπ), k iz Z Kodomen (-∞,1] i [1,∞) Period 2π Specifične vrednosti Lok. maksimumi ((2k+1)π,-1) Lok. minimumi (2kπ,1) Specifične osobine Asimptote (k + 1/2)π Promenljiva k je ceo broj
Sekans je trigonometrijska funkcija izvedena iz funkcije kosinusa .
Definicija glasi:
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}}
Veza sa kosekansom
sec
x
=
cosec
(
π
/
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}
dok je Pitagorin identitet , identitet zasnovan na Pitagorinoj teoremi, koji povezuje trigonometrijske funkcije
1
+
tan
2
(
α
)
=
sec
2
(
α
)
{\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}
Kao i ostale trigonometrijske funkcije i sekans predstavlja odnos između dveju stranica pravouglog trougla. Sekans je odnos hipotenuze i nalegle katete.[1]
sec
ϕ
=
r
x
{\displaystyle \operatorname {sec} \;\phi ={\frac {r}{x}}}
Sl.1. Trigonometrijski trougao
Na trigonometrijskom krugu je vrednost sekansa jednaka veličini sledeće duži
sec
ϕ
=
O
E
¯
{\displaystyle \sec \phi ={\overline {OE}}}
Sl.2. Trigonometrijska kružnica
Neke karakteristične vrednosti
stepeni
0°
30°
45°
60°
90°
radijana
0
π
/
6
{\displaystyle \pi /6}
π
/
4
{\displaystyle \pi /4}
π
/
3
{\displaystyle \pi /3}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
sec
ϕ
{\displaystyle \sec \phi \,}
1
{\displaystyle 1\;}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
2
{\displaystyle 2\;}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty \;}
Predstavljanje funkcije u vidu Tejlorovog reda u okolini tačke
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sec
x
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
odnosno uopšteno
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
gde su
E
k
{\displaystyle E_{k}\!}
Ojlerovi brojevi .
Moguće je takođe predstaviti i u vidu
sec
(
x
)
=
π
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
8
k
+
4
)
(
2
k
+
1
)
2
π
2
−
4
x
2
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
Detaljnom analizom se mogu utvrditi karakteristične osobine funkcije.
Oblast definisanosti funkcije: funkcija je definisana u skupu realnih brojeva
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
−
∞
<
x
<
+
∞
;
x
≠
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
Oblast vrednosti funkcije: funkcija uzima vrednosti u opsegu realnih brojeva, sem u oblasti -1 do 1
−
∞
<
sec
(
x
)
≤
−
1
∪
1
≤
sec
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }
funkcija je parna
sec
(
−
x
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}
funkcija je periodična sa osnovnom periodom 2π
sec
(
x
+
2
π
)
=
sec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}
funkcija ima vertikalne asimptote u tačkama
x
=
(
n
+
1
2
)
⋅
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
funkcija nema horizontalne i kose asimptote funkcija nema nule Monotonost funkcije
Ekstremumi nema globalni ekstremum
lokalni minimum
sec
(
2
n
⋅
π
)
=
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
lokalni maksimum
sec
(
(
2
n
+
1
)
⋅
π
)
=
−
1
;
n
∈
Z
{\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }
Konveksnost i konkavnost funkcije funkcija je konveksna u intervalu
−
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
funkcija je konkavna u intervalu
π
/
2
+
2
n
π
<
x
<
3
π
/
2
+
2
n
π
;
n
∈
Z
{\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }
funkcija nema prevojne tačke Prvi izvod funkcije je
d
d
x
sec
(
x
)
=
sec
(
x
)
⋅
tan
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
cosec
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}}
Neodređeni integral funkcije
∫
sec
(
x
)
d
x
=
ln
|
1
+
sin
(
x
)
cos
(
x
)
|
=
ln
|
sec
(
x
)
+
tan
(
x
)
|
{\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}}
Prvi put se skraćenica sec 1626. godine u knjizi Albera Žerara o trigonometriji.[2]
^ Rista Karljiković, Geometrija za više razrede srednjih škola , treći deo, trigonometrija, izdanje knjižarnice Rajkovića i Đurkovića, Beograd-Terazije, 1931
^ Miodrag Petković, Ljiljana Petković, Matematički vremeplov, prilozi za istoriju matematike , ZMAJ, Novi Sad, 2006
Bronštajn, Semendjajev, Spravočnik po matematike dlja inženjerov i učahčihsja vtuzov , Moskva, »Nauka«, 1980
