Hiperboloid

Hiperboloid je površ drugog reda u $\mathbb {R} ^{3}$, zadata jednačinama

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\quad$ (jednograni)
• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\quad$ (dvograni)

Kada je $a\neq b$, ovakve površi se nazivaju još i eliptički hiperboloidi. Kada je $a=b$, hiperboloid predstavlja rotacionu površ. Jednograni rotacioni hiperboloid se može dobiti rotacijom hiperbole oko simetrale duži koja spaja žiže, dok dvograni rotacioni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja prolazi kroz žiže.

Jednograni hiperboloid

Dvograni hiperboloid

Eliptični hiperboloid

Kanonska jednačina

Jednograni hiperboloid

Jednograni hiperboloid

Ako se za direktrise uzmu hiperbole određene jednačinama

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$,

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$,

njihov presek sa ravni $z=\gamma$ su elipse koje se nazivaju generatrise. Skup ovih elipsi čini jednograni hiperboloid. Za tačke generišućih elipsi

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=z-\gamma =0$,

${\frac {\alpha ^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$ i

${\frac {\beta ^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$

eliminacijom parametara $\alpha ,\beta ,\gamma$ dobija se kanonska jednačina jednogranog hiperboloida

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Dvograni hiperboloid

Dvograni hiperboloid

Ako se za direktrise uzmu hiperbole određene jednačinama

${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$

${\frac {z^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$

i iste elipse kao za jednograni hiperboloid, analognim postupkom dobija se kanonska jednačina dvogranog hiperboloida

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$.

Parametarske jednačine

Jednograni hiperboloid

Jednograni hiperboloid dobijen rotacijom hiperbole

Jednograni hiperboloid dobijen rotacijom prave

Ako se kao parametri uzmu $u\in [0,2\pi )$ i $v\in \mathbb {R}$ onda se jednograni eliptički hiperboloid može parametrizovati na više načina:

$x(u,v)=a{\sqrt {1+v^{2}}}\cos u$,

$y(u,v)=b{\sqrt {1+v^{2}}}\sin u$,

$z(u,v)=cu$

ili

$x(u,v)=a\cosh v\cos u$,

$y(u,v)=b\cosh v\sin u$,

$z(u,v)=c\sinh v$

ili

$x(u,v)=a(\cos u\mp v\sin u)$,

$y(u,v)=b(\sin u\pm v\cos u$,

$z(u,v)=\pm cu$.

U slučaju kad je $a=b$ drugi navedeni način parametrizacije realizuje jednograni hiperboloid rotacijom hiperbole, a treći prave oko $z$ ose.

Dvograni hiperboloid

Parametarska jednačina dvogranog eliptičkog hiperboloida je:

$x(u,v)=a\sinh v\cos u$,

$y(u,v)=b\sinh v\sin u$,

$z(u,v)=\pm c\sinh v$, gde $u\in [0,pi)$ i $v\in \mathbb {R}$.

Uopštenje kanonske jednačine

Hiperboloid sa centrom u tački $\mathbf {c}$, proizvonjne orijentacije, definiše se jednačinom

$(\mathbf {x} -\mathbf {c} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {c} )=1$,

gde su $\mathbf {x}$ i $\mathbf {c}$ vektori dimenzije 3x1, a matrica $A$ je dimenzija 3x3 i mora biti regularna$(detA\neq 0)$ i simetrična$(A=A^{T})$.

Sopstveni vektori matrice $A$ definišu usmerenje hiperboloida, a sopstvene vrednosti $A$ su recipročne vrednosti kvadrata poluosa:${\tfrac {1}{a^{2}}},{\tfrac {1}{b^{2}}},{\tfrac {1}{c^{2}}}$.

Osobine

Kružni jednograni hiperboloid je rotaciona površ i može se dobiti rotacijom hiperbole oko sporedne poluose. Rotacijom hiperbole oko glavne poluose se dobija dvograni hiperboloid, koji se još može opisati kao skup tačaka $P$ takvih da je $|F_{1}P-F_{2}P|=const.$, gde su $F_{1}$ i $F_{2}$ žiže hiperboloida.

Kružni jednograni hiperboloid se takođe može dobiti i rotacijom prave oko poluose, što znači da je on pravolinijska površ, odnosno da se kroz svaku tačku na njemu može naći prava koja u potpunosti pripada hiperboloidu. Štaviše, kroz svaku tačku na hiperboloidu se mogu naći dve ovakve prave.

U kakonskoj jednačini, promenom vrednosti $a,b,c$, hiperbola se isteže u pravcu odgovarajućih osa. Najdrastičnija promena izgleda hiperbole se dobija menjanjem vrednosti parametra $c$, čijim se povećavanjem dobija "strmija" hiperbola, dok je za promenu $a$ i $b$ suprotno.

Gausova krivina jednogranog hiperboloida implicitno je data formulom:

$K(x,y,z)=-{\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}+a^{2}c^{4}y^{2}-b^{2}c^{4}y^{2}+a^{2}b^{4}z^{2}+b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

a Gausova krivina dvogranog hiperboloida:

$K(x,y,z)={\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}-a^{2}c^{4}y^{2}+b^{2}c^{4}y^{2}-a^{2}b^{4}z^{2}-b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

gde su $a$, $b$ i $c$ poluose.

Iako je Gausova krivina dvogranog hiperboloida pozitivna, odabirom pogodne metrike on može biti model hiperboličke geometrije.

Presek sa ravni

Presek jednogranog hiperboloida i ravni

Jednograni hiperboloid

Presek jednogradnog hiperboloida i ravni može biti:

• Hiperbola
• Parabola
• Elipsa
• Dve prave koje se seku
• Dve paralelne prave

Dvoograni hiperboloid

Presek dvogranog hiperboloida i ravni

Presek dvogranog hiperboloida i ravni može biti:

• Hiperbola
• Parabola
• Elipsa
• Prazan skup

U prostorima dimenzije veće od tri

U matematici viših dimenzija se često pominju imaginarni hiperboloidi. Ako se posmatra pseudo-Euklidski prostor i polinom

$p(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})-((x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))$, za $k<n$,

deo prostora $\{x|p(x)=c\}$, gde je $c$ konstanta, naziva se hiperboloid.

Takođe se ovakvi hiperboloidi nazivaju i kvazi-sfere zbog sličnosti između sfere i hiperboloida.

Primena u građevini

Toranj u gradu Kobe, Japan

Zbog osobine da je jednograni hiperboloid pravolinijska površ, moguće je napraviti građevinu ovog oblika pomoću ravnih metalnih šipki, dok je za većinu građevina koje imaju zakrivljenu strukturu potrebno praviti zakrivljene gradivne elemente što je daleko komplikovanije u smislu preciznosti. Ovo svojstvo zajedno sa negativnom Gausovom krivinom omogućava hiperboloidnim građevinama da budu stabilnije i otpornije u odnosu na ravne građevine.

Ovakva struktura ima dosta neiskoristivog prostora pa se zato uglavnom koristi za konstrukciju tornjeva za hlađenje, vodenih tornjeva, građevina koje treba da drže veliku masu ili radi estetike.

Toranj za hlađenje u Španiji

Toranj na reci Oka, Rusija

Literatura

• T. Šukilović, S. Vukmirović, Geometrija za informatičare, Matematički fakultet, Beograd, 2015, strane 135-136.
• N. Blažić, N. Bokan, Z. Lučić, Z. Rakić, Analitička geometrija, Matematički fakultet, Beograd, 2003, strane 93—94.

Spoljašnje veze

• Hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Jednograni hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Dvograni hiperboloid na sajtu MathWorld
  • Eliptični hiperboloid na sajtu MathWorld
• Jednograni hiperboloid na sajtu mathinsight
• Dvograni hiperboloid na sajtu mathinsight