Подударност (геометрија)
У геометрији две фигуре су подударне ако имају исту величину и облик, или ако једна има исти облик и величину као слика у огледалу друге.[3] Два скупа тачака су подударна ако постоји пресликавање којим се тај скуп пресликава у други скуп, а да се при том не мења величина и облик.
Подударност се означава са
Подударан има значење:[4]
- Две дужи су подударне ако имају исту дужину тј
- Два угла су подударна ако имају исту меру тј
- Два круга су подударна ако имају исти пречник тј
Одређивање подударности полигона[уреди | уреди извор]
Да би два полигона била подударна, морају имати једнак број страница (а самим тим и једнак број – исти број – темена). Два полигона са н страна су подударна ако и само ако сваки од њих има нумерички идентичне низове (чак и ако у смеру казаљке на сату за један полигон и супротно од казаљке на сату за други) страница-угао-страница-угао- ... за н страница и н углова.
Конгруенција полигона може се графички утврдити на следећи начин:
- Прво, упарите и означите одговарајуће врхове две фигуре.
- Друго, нацртајте вектор од једног од врхова једне од фигура до одговарајућег темена друге фигуре. Транслирајте прву фигуру овим вектором тако да се ова два темена поклапају.
- Треће, ротирајте транслирану фигуру око подударног темена док се један пар одговарајућих страна не поклопи.
- Четврто, одразите ротирану фигуру око ове упарене стране док се бројке не поклопе.
Ако у било ком тренутку корак не може да се заврши, полигони нису подударни.
Аксиоми подударности[уреди | уреди извор]
Аксиоми подударности описују основне карактеристике релације подударности парова тачака. Ову релација се уводи као полазни појам.
- Аксиом 1
Ако је и , тада је и .
- Аксиом 2
За сваке две тачке и је .
- Аксиом 3
Ако је и тада је
- Аксиом 4
Ако су C и C' тачке отворених дужи AB и A'B', такве да је и , тада је и
- Аксиом 5
Ако су A и B две тачке и CX полуправа тада на тој полуправој постоји тачка D таква да је
- Аксиом 6
Ако су A, B, C три неколинеарне тачке и тачке руба неке полуравни , такве да је тада у тој полуравни постоји јединствена тачка C' таква да је и
- Аксиом 7
Ако су A, B, C и A', B', C' две тројке неколинеарних тачака и D и D' тачке полуправих BC и B'C' такве да је , , и , тада је и
Релација подударности парова тачака је релација еквиваленције.
- релација је рефлексивна.
- Нека је [] => релација је симетрична
- и [следи на основу симетричности]
- Теорема 1
Ако су A и B две тачке и CX полуправа тада на тој полуправој постоји јединствена тачка D таква да је '
- Теорема 2
Ако су A,B,C три разне тачке праве p и A',B' две тачке праве p' такве да је , тада постоји јединствена тачка C' таква да је A',B' и .
При томе, тачка C' припада правој p' и:
- ако је , тада је
- ако је , тада је
- ако је , тада је
- Дефиниција 1
Каже се да је уређена n-торка тачака подударна са n-торком у ознаци
ако је за свако
- Дефиниција 2
Нека су А и B две разне тачке неке равни . Скуп свих тачака те равни таквих да је , назива се круг, у ознаци , са центром А и чији је полупречник дуж AB.
Подударност дужи[уреди | уреди извор]
Ако су две дужи AB и CD су подударне, то може се означити са
- Теорема 3
,
- Дефиниција 3
Тачка S је средиште дужи , ако припада тој дужи и важи
- Теорема 4
За сваку дуж постоји јединствено средиште.
- Дефиниција 4
Дуж AB је мања од дужи CD у ознаци AB < CD ако унутар дужи CD постоји тачка E таква да је AB ≅ CE. Такође у том случају се каже и да је дуж CD већа од дужи AB у ознаци CD > AB.
- Дефиниција 5
Дуж EF једнака је збиру дужи AB и CD у ознаци EF = AB + CD, ако унутар дужи EF постоји тачка G таква да је AB≅EG CD ≅GF.
На исти начин дефинишу се разлика, производ дужи и природног броја, производ дужи ирационалног броја
Подударност углова, прави углови, релација нормалности правих[уреди | уреди извор]
Два конвексна или конкавна угла и су подударна ако и само ако на крацима и , редом постоје тачке такве да је: ).
- Теорема 5
- Унакрсни углови су међусобно подударни.
- За сваки ∠pq и сваку полуправу p' неке равни, постоји у полуравни одређеној правом која садржи p', јединствена полуправа q' таква да ∠pq ≅ ∠p'q'.
- Теорема 6
Сваки угао има јединствену бисектрису
- Дефиниција 5
Угао AOB је мањи од угла CSD у ознаци ако унутар угла CSD постоји полуправа SE таква да је . У том случају кажемо иа је угао CSD већи од угла AOB у ознаци .
- Дефиниција 6
Углом две мимоилазне праве p и q у простору назива се угао који одређују њима паралелене праве a и b које се секу у некој тачки О. Специјално, ако је угао две мимоилазне праве у простору прав, тада се каже да су праве и нормалне међу собом, и симболички означавамо са
- Теорема 7
- Угао подударан неком правом углу такође је прав.
- Прави углови су међу собом подударни.
- Постоји једна и само једна права која сече сваку од две мимоилазне праве a и b под правим углом.
Подударност полигона[уреди | уреди извор]
Два подударна полигона имају исти број страница и врхова.[5]
Два полигони са n страна су подударна, ако и само ако сваки од њих има одговарајуће странице и углове једнаке.
Подударност неких правилних четвороуглова[уреди | уреди извор]
- Два паралелограма су подударна ако су им подударне две суседне ивице и један угао.
- Два правоугаоника су подударна ако су им подударне две суседне ивице.
- Два ромба су подударна ако су им подударне једна ивица и један угао
- Два квадрата су подударна ако су им подударне странице.
Подударност троуглова[уреди | уреди извор]
Два троугла су подударна ако су њихове одговарајуће странице једнаке дужине, одговарајући углови једнаке величине. Да су два троугла ABC и DEF подударни записује се
Одређивање подударностости[уреди | уреди извор]
- СУС
Два троугла су подударна ако су две ивице и њима захваћени угао једног троугла подударни са одговарајућим ивицама и угловима другог троугла, тј:
- ССС
Два троугла су подударна ако су им одговарајуће ивице подударне, тј.
Доказ:
Нека су ABC, A'B'C' два троугла таква да је . Тада су и одговарајући парови тачака подударни тј.
Постоји изометрија те равни, која тачке A,B,C пресликава редом у тачке A', B', C'. Изометрије чувају распоред, па се одговарајуће ивице једног троугла пресликавају у одговарајуће ивице другог троугла. Изометрија пресликава троугао ABC у троугао A'B'C', па је
- УСУ
Два троугла су подударна ако су једна ивица и на њој налегли углови једног троугла подударни са одговарајућом ивицом и одговарајућим угловима другог троугла, тј:
- ССУ
Два троугла су подударна ако су две ивице и угао наспрам једне од њих једног троугла подударни са одговарајућим страницама и одговарајућим углом другог троугла.[6]
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ Венема 2006, п. 122
- ^ Хендерсон & Таимиṇа 2005, п. 123
- ^ Цлапхам, C.; Ницхолсон, Ј. (2009). „Оxфорд Цонцисе Дицтионарy оф Матхематицс, Цонгруент Фигурес” (ПДФ). Аддисон-Wеслеy. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 02. 06. 2017.
- ^ „Цонгруенце”. Матх Опен Референце. 2009. Приступљено 02. 06. 2017.
- ^ Цонгруент Полyгонс
- ^ „ССС”. Архивирано из оригинала 31. 05. 2016. г. Приступљено 29. 12. 2018.
Литература[уреди | уреди извор]
- Цоxетер, Х. С. M. (1969). Интродуцтион то Геометрy, Сецонд едитион. Wилеy. ИСБН 9780471504580.
- Боyер, C.Б. (1991) [1989]. А Хисторy оф Матхематицс (Сецонд едитион, ревисед бy Ута C. Мерзбацх изд.). Неw Yорк: Wилеy. ИСБН 978-0-471-54397-8.
- Цооке, Рогер (2005), Тхе Хисторy оф Матхематицс:, Неw Yорк: Wилеy-Интерсциенце, 632 пагес, ИСБН 978-0-471-44459-6
- Хаyасхи, Такао (2003), „Индиан Матхематицс”, Ур.: Граттан-Гуиннесс, Ивор, Цомпанион Енцyцлопедиа оф тхе Хисторy анд Пхилосопхy оф тхе Матхематицал Сциенцес, 1, Балтиморе, MD: Тхе Јохнс Хопкинс Университy Пресс, 976 пагес, стр. 118—130, ИСБН 978-0-8018-7396-6
- Хаyасхи, Такао (2005), „Индиан Матхематицс”, Ур.: Флоод, Гавин, Тхе Блацкwелл Цомпанион то Хиндуисм, Оxфорд: Басил Блацкwелл, 616 пагес, стр. 360—375, ИСБН 978-1-4051-3251-0
- Николаи I. Лобацхевскy, Пангеометрy, транслатор анд едитор: А. Пападопоулос, Херитаге оф Еуропеан Матхематицс Сериес, Вол. 4, Еуропеан Матхематицал Социетy, 2010.
- Јаy Каппрафф, А Партиципаторy Аппроацх то Модерн Геометрy, Wорлд Сциентифиц Публисхинг. 2014. ISBN 978-981-4556-70-5..
- Леонард Млодиноw, Еуцлид'с Wиндоw – Тхе Сторy оф Геометрy фром Параллел Линес то Хyперспаце, УК едн. Аллен Лане, 1992.
- Хендерсон, Давид W.; Таимина, Даина (2005), Еxпериенцинг Геометрy/Еуцлидеан анд Нон-Еуцлидеан wитх Хисторy (3рд изд.), Пеарсон Прентице-Халл, ИСБН 978-0-13-143748-7
- Јацобс, Харолд Р. (1974), Геометрy, W.Х. Фрееман анд Цо., ИСБН 978-0-7167-0456-0
- Педое, Дан (1988) [1970], Геометрy/А Цомпрехенсиве Цоурсе, Довер, ИСБН 978-0-486-65812-4
- Сиблеy, Тхомас Q. (1998), Тхе Геометриц Виеwпоинт/А Сурвеy оф Геометриес, Аддисон-Wеслеy, ИСБН 978-0-201-87450-1
- Смарт, Јамес Р. (1998), Модерн Геометриес (5тх изд.), Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-35188-5
- Стахл, Саул (2003), Геометрy/Фром Еуцлид то Кнотс, Прентице-Халл, ИСБН 978-0-13-032927-1
- Венема, Герард А. (2006), Фоундатионс оф Геометрy, Пеарсон Прентице-Халл, ИСБН 978-0-13-143700-5
- Yале, Паул Б. (1968), Геометрy анд Сyмметрy, Холден-Даy
- Јудитх Н. Цедерберг (1989, 2001) А Цоурсе ин Модерн Геометриес, Цхаптер 3.12 Симиларитy Трансформатионс, пп. 183–9, Спрингер. ISBN 978-0-387-98972-3. .
- Гüнтер Еwалд (1971) Геометрy: Ан Интродуцтион, пп. 106, 181, Wадсwортх Публисхинг.
- Георге Е. Мартин (1982) Трансформатион Геометрy: Ан Интродуцтион то Сyмметрy, Цхаптер 13 Симиларитиес ин тхе Плане, пп. 136–46, Спрингер. ISBN 978-0-387-90636-2. .
Спољашње везе[уреди | уреди извор]
- Геометрија
- The SSS at Cut-the-Knot
- The SSA at Cut-the-Knot
- Interactive animations demonstrating Congruent polygons, Congruent angles, Congruent line segments, Congruent triangles at Math Open Reference