Паралелограм

С Википедије, слободне енциклопедије
Паралелограм
Parallelogram.svg
Овај паралелограм је ромбоид јер нема праве углове и неједнаке странице.
Типчетвороугао
Ивице и темена4
Симетрична групаC2, [2]+, (22)
Површинаb × h (основица × висина);
ab sin θ (производ суседних страница и синус било ког угла темена)
Својстваконвексан

У Еуклидовој геометрији, паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао са два пара паралелних страница. Наспрамне странице паралелограма су једнаке дужине, а наспрамни углови су једнаке мере.

Подударност наспрамних страница и наспрамних углова је директна последица Еуклидовог постулата паралелности и ни један услов се не може доказати без примењивања Еуклидовог постулата паралелности или једне од његових еквивалентних формулација.

Поређења ради, четвороугао са само једним паром паралелних страница је трапез.

Тродимензионални еквивалент паралелограма је паралелепипед.

Етимологија (на грчком грч. παραλληλ-όγραμμον — „облик од паралелних линија”) одражава дефиницију.

Посебни случајеви[уреди | уреди извор]

Четвороуглови по симетрији
  • Ромбоид — четвороугао чије су наспрамне странице паралелне, суседне странице неједнаке и чији углови нису прави.[1]
  • Правоугаоник — паралелограм са четири угла једнаке величине.
  • Ромб — паралелограм са четири страница једнаке дужине.
  • Квадрат — паралелограм са четири страница једнаке дужине и углова једнаке величине (прави углови).

Карактеризација[уреди | уреди извор]

Паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао ако и само ако је једна од следећих изјава тачна:[2][3]

  • два пара наспрамних страница су једнаке по дужини;
  • два пара наспрамних углова су једнаки по мери;
  • дијагонале се узајамно полове;
  • један пар наспрамних страница је паралелан и једнак по дужини;
  • суседни углови су суплементни;
  • свака дијагонала дели четвороугао на два подударна троугла;
  • збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (Ово је паралелограмски закон.);
  • има ротациону симетрију реда 2;
  • збир удаљености од било које унутрашње тачке до страница је независна од локације тачке.[4] (Ово је проширење Вивианијеве теореме.)
  • Постоји тачка X у равни четвороугла са својством да свака права линија кроз X дели четвороугао на два подручја једнаке површине.

Стога, сви паралелограми имају сва горенаведена својства, и обрнуто; ако је само једна од ових изјава тачна у једноставном четвороуглу, онда је то паралелограм.

Формуле[уреди | уреди извор]

Висине
Дијагонале
Обим
Површина
Закон паралелограма

Формула површине[уреди | уреди извор]

Дијаграм који показује како се паралелограм може преуредити у облик правоугаоника
Паралелограм се може преуредити у правоугаоник са истом површином.
Анимација за формулу површине .

Све формуле површина за опште конвексне четвороуглове важе за паралелограме. Даље формуле су специфичне за паралелограме:

Паралелограм са основом b и висином h може се поделити на четвороугао и правоугаони троугао и преуредити у правоугаоник, као што је приказано на слици лево. То значи да је површина паралелограма иста као и површина правоугаоника са истом основом и висином:

Површина паралелограма је површина плаве области, која је унутрашњост паралелограма.

Формула за површину облика основе × висина се такође може извести помоћу слике са десне стране. Површина K паралелограма десно (плава област) је укупна површина правоугаоника умањена за површину два наранџаста троугла. Површина правоугаоника је

а површина појединачно наранџастог троугла је

Дакле, површина паралелограма је

Друга формула површине, за две странице B и C и угао θ, је

Површина паралелограма са страницама B и C (BC) и углом на пресеку дијагонала је дата са[5]

Када се паралелограм одреди из дужина B и C две суседне странице заједно са дужином D1 било које дијагонале, тада се површина може наћи из Херонове формуле. Специфично то је

где је и водећи фактор 2 долази из чињенице да изабрана дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.

Површина у контексту Декартових координата темена[уреди | уреди извор]

Нека вектори и нека означавају матрицу са елементима a и b. Тада је површина паралелограма коју генеришу a и bједнака .

Нека су вектори и нека је . Тада је површина паралелограма коју генерише a и b једнака .

Нека су тачке . Тада је површина паралелограма са врховима на a, b и c еквивалентна апсолутној вредности детерминанте матрице изграђене коришћењем a, b и c као редова са последњом колоном допуњеном јединицама на следећи начин:

Доказ да се дијагонале деле једна на другу[уреди | уреди извор]

Паралелограм ABCD

Да би се доказало да дијагонале паралелограма деле једна на другу напола, могу се користити подударни троуглови:

(наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери)
(наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери).

(пошто су то углови које трансверзала прави са паралелним правима AB и DC).

Такође, страница AB је по дужини једнака страни DC, пошто су супротне стране паралелограма једнаке по дужини.

Дакле, троуглови ABE и CDE су подударни (ASA постулат, два одговарајућа угла и укључена страница).

Стога,

Пошто дијагонале AC и BD деле једна другу на сегменте једнаке дужине, дијагонале се преполовљавају. Осим тога, пошто се дијагонале AC и BD преполовљавају у тачки E, тачка E је средиште сваке дијагонале.

Решетка паралелограма[уреди | уреди извор]

Паралелограми могу поплочати раван транслацијом. Ако су ивице једнаке или су углови прави, симетрија решетке је већа. Они представљају четири Бравеове решетке у 2 димензије.

Решетке
Форма Квадрат Правоугаоник Ромр Паралелограм
Систем Квадратин
(тетрагонални)
Правоугаони
(орторомбни)
Центрирано правоугаони
(орторомбни)
Коси
(моноклиника)
Ограничења α=90°, a=b α=90° a=b None
Симетрија p4m, [4,4], order 8n pmm, [∞,2,∞], order 4n p1, [∞+,2,∞+], order 2n
Форма Isohedral tiling p4-56.png Isohedral tiling p4-54.png Isohedral tiling p4-55.png Isohedral tiling p4-50.png

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ „CIMT - Page no longer available at Plymouth University servers” (PDF). www.cimt.plymouth.ac.uk. Архивирано из оригинала (PDF) на датум 14. 5. 2014. 
  2. ^ Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
  3. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, „The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition”, Information Age Publishing, 2008, p. 22.
  4. ^ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. „The converse of Viviani’s theorem”, The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390—391.
  5. ^ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

Литература[уреди | уреди извор]

  • Yates, Robert C. (март 1941), „The trisection problem”, National Mathematics Magazine, 15 (6): 278—293, JSTOR 3028413, doi:10.2307/3028413 

Спољашње везе[уреди | уреди извор]