Паралелограм

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Паралелограм
Parallelogram.svg
Овај паралелограм је ромбоид јер нема праве углове и неједнаке странице.
Тип четвороугао
Ивице и темена 4
Симетрична група C2, [2]+, (22)
Површина b × h (основица × висина);
ab sin θ (производ суседних страница и синус било ког угла темена)
Својства конвекстан

У Еуклидовој геометрији, паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао са два пара паралелних страница. Наспрамне странице паралелограма су једнаке дужине, а наспрамни углови су једнаке мере.

Подударност наспрамних страница и наспрамних углова је директна последица Еуклидовог постулата паралелности и ни један услов се не може доказати без примењивања Еуклидовог постулата паралелности или једне од његових еквивалентних формулација.

Поређења ради, четвороугао са само једним паром паралелних страница је трапез.

Тродимензионални еквивалент паралелограма је паралелепипед.

Етимологија (на грчком грч. παραλληλ-όγραμμον — „облик од паралелних линија”) одражава дефиницију.

Посебни случајеви[уреди]

Четвороуглови по симетрији
  • Ромбоид — четвороугао чије су наспрамне странице паралелне, суседне странице неједнаке и чији углови нису прави.[1]
  • Правоугаоник — паралелограм са четири углова једнаке величине.
  • Ромб — паралелограм са четири страница једнаке дужине.
  • Квадрат — паралелограм са четири страница једнаке дужине и углова једнаке величине (прави углови).

Карактеризација[уреди]

Паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао ако и само ако је једна од следећих изјава тачна:[2][3]

  • два пара наспрамних страница су једнаке по дужини;
  • два пара наспрамних углова су једнаки по мери;
  • дијагонале се узајамно полове;
  • један пар наспрамних страница је паралелан и једнак по дужини;
  • суседни углови су суплементни;
  • свака дијагонала дели четвороугао на два подударна троугла;
  • збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (Ово је паралелограмски закон.);
  • има ротациону симетрију реда 2;
  • збир удаљености од било које унутрашње тачке до страница је независна од локације тачке.[4] (Ово је проширење Вивианијевe теоремe.)
  • Постоји тачка X у равни четвороугла са својством да свака права линија кроз X дели четвороугао на два подручја једнаке површине.

Стога, сви паралелограми имају сва горенаведена својства, и обрнуто; ако је само једна од ових изјава тачна у једноставном четвороуглу, онда је то паралелограм.

Формуле[уреди]

Висине
Дијагонале
Обим
Површина
Закон паралелограма

Референце[уреди]

  1. ^ „CIMT - Page no longer available at Plymouth University servers” (PDF). www.cimt.plymouth.ac.uk. Архивирано из оригинала (PDF) на датум 2014-05-14. 
  2. ^ Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
  3. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, „The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition”, Information Age Publishing, 2008, p. 22.
  4. ^ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. „The converse of Viviani’s theorem”, The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390—391.

Спољашње везе[уреди]