Риманова површина

Риманова површина за функцију f(z) = √з. Две хоризонталне осе представљају реални и имагинарни део z, док вертикална оса представља реални део √з. Имагинарни део √з представљен је обојењем тачака. За ову функцију то је уједно и висина након ротирања графа за 180° око вертикалне осе.

У математици, а посебно у комплексној анализи, Риманова површина је једнодимензиона комплексна многострукост. Ове површине је први проучавао Бернхард Риман, те по њему носе име. Риманове површине се могу сматрати деформисаним верзијама комплексне равни: локално близу сваке тачке изгледају као сегменти сложене равни, али глобална топологија може бити сасвим другачија. На пример, оне могу изгледати као сфера или торус или неколико листова залепљених заједно.

Главни интерес у Риманове површине потиче од тога да холоморфне функције могу бити дефинисане између њих. Риманове површине се данас сматрају природном поставком за проучавање глобалног понашања ових функција, посебно мултивредносних функција као што су квадратни корен и друге алгебарске функције или логаритам.

Свака Риманова површина је дводимензионална реална аналитичка многострукост (тј. површина), али садржи више структура (конкретно комплексне структуре) које су потребне за недвосмислену дефиницију холоморфних функција. Дводимензионална реална многострукост се може претворити у Риманову површину (обично на неколико нееквивалентних начина) ако и само ако је она оријентисана и мерљива. Дакле, сфера и торус прихватају сложене структуре, док Мебијусова трака, Клејнова боца и реална пројективна раван то не чине.

Геометријске чињенице о Римановим површинама су веома интуитивне, и оне су често мотивација за генерализацију до других кривих, многострукости или варијетета. Теорема Риман-Роча је сјајан пример овог утицаја.

Дефиниције

Главни чланци: Комплексна многострукост и Конформална геометрија

Постоји неколико еквивалентних дефиниција Риманове површине.

1. Риманова површина X је повезана комплексна многострукост комплесне димензије један. То значи да је X повезани Хаусдорфов простор који има атлас графикона на отвореном јединичном диску комплексне равни: за сваку тачку x ∈ X постоји суседство од x које је хомеоморфно на диску отворене јединице комплексне равни, и транзиционе мапе између два преклапајућа графикона морају бити холоморфне.
2. Риманова површина је оријентисана многострукост (реалне) димензије два - двострана површ - заједно с конформалном структуром. Поново, многострукост значи да је локално у било којој тачки x из X, простор хомеоморфан на подскупу реалне равни. Додатак „Риманова” означава да X поседује додатну структуру која омогућава мерење угла на многострукости, наиме, еквивалентну класу такозваних Риманових метрика. Две такве метрике сматрају се еквивалентним ако су углови које мере једнаки. Избор класе еквиваленције метрика на X је додатни податак конформалне структуре.

Комплексна структура ствара конформалну структуру одабиром стандардне Еуклидске метрике дате на комплексној равни и преносећи је у X помоћу графикона. Теже је показати да конформална структура одређује комплексну структуру.

Литература

• Фаркас, Херсхел M.; Кра, Ирwин (1980), Риеманн Сурфацес (2нд изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90465-8 
• Пабло Арéс Гастеси, Риеманн Сурфацес Боок.
• Хартсхорне, Робин (1977), Алгебраиц Геометрy, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90244-9, МР 0463157, ОЦЛЦ 13348052 , есп. цхаптер IV.
• Јост, Јüрген (2006), Цомпацт Риеманн Сурфацес, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, стр. 208—219, ИСБН 978-3-540-33065-3 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2007), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. I, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 11, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-029-6, МР 2284826, дои:10.4171/029 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2009), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. II, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 13, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-055-5, МР 2524085, арXив:матх/0511271 , дои:10.4171/055 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2012), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. III, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 19, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-103-3, дои:10.4171/103 
• Сиегел, Царл Лудwиг (1955), „Мероморпхе Функтионен ауф компактен аналyтисцхен Маннигфалтигкеитен”, Нацхрицхтен дер Академие дер Wиссенсцхафтен ин Гöттинген. II. Матхематисцх-Пхyсикалисцхе Классе, 1955: 71—77, ИССН 0065-5295, МР 0074061 
• Wеyл, Херманн (2009) [1913], Тхе цонцепт оф а Риеманн сурфаце (3рд изд.), Неw Yорк: Довер Публицатионс, ИСБН 978-0-486-47004-7, МР 0069903 
• Кодаира, Кунихико. Цомплеx Манифолдс анд Деформатион оф Цомплеx Струцтурес. Цлассицс ин Матхематицс. Спрингер. ИСБН 3-540-22614-1. 
• Кобаyасхи, Схосхицхи (1970). Трансформатион Гроупс ин Дифферентиал Геометрy (Фирст изд.). Спрингер. ИСБН 3-540-05848-6. 
• Словáк, Јан (1993). Инвариант Операторс он Цонформал Манифолдс. Ресеарцх Лецтуре Нотес, Университy оф Виенна (Диссертатион). 
• Стернберг, Схломо (1983). Лецтурес он дифферентиал геометрy. Неw Yорк: Цхелсеа. ИСБН 0-8284-0316-3. 
• ле Бруyн, Лиевен (2008), Клеин'с дессинс д'енфант анд тхе буцкyбалл 
• Брyант, Робин П.; Сингерман, Давид (1985), „Фоундатионс оф тхе тхеорy оф мапс он сурфацес wитх боундарy”, Qуартерлy Јоурнал оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 36 (141): 17—41, МР 780347, дои:10.1093/qматх/36.1.17 
• Гирондо, Ернесто; Гонзáлез-Диез, Габино (2012), Интродуцтион то цомпацт Риеманн сурфацес анд дессинс д'енфантс, Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс, 79, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-74022-7, Збл 1253.30001 
• Гротхендиецк, А. (1984), Есqуиссе д'ун программе 
• Хамилтон, W. Р. (17. 10. 1856), Леттер то Јохн Т. Гравес "Он тхе Ицосиан" . Цоллецтед ин Халберстам, Х.; Инграм, Р. Е., ур. (1967), Матхематицал паперс, Вол. III, Алгебра, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, стр. 612—625 
• Јонес, Гаретх (1995), „Дессинс д'енфантс: бипартите мапс анд Галоис гроупс”, Сéминаире Лотхарингиен де Цомбинатоире, Б35д: 4, Архивирано из оригинала 8. 4. 2017. г., Приступљено 2. 6. 2010 
• Јонес, Гаретх; Сингерман, Давид (1978), „Тхеорy оф мапс он ориентабле сурфацес” (ПДФ), Процеедингс оф тхе Лондон Матхематицал Социетy, 37 (2): 273—307, дои:10.1112/плмс/с3-37.2.273 
• Клеин, Фелиx (1878—79), „Üбер дие Трансформатион дер еллиптисцхен Функтионен унд дие Ауфлöсунг дер Глеицхунген фüнфтен Градес (Он тхе трансформатион оф еллиптиц фунцтионс анд ...)”, Матхематисцхе Аннален, 14: 13—75 (ин Оеуврес, Томе 3), дои:10.1007/БФ02297507, Архивирано из оригинала 19. 7. 2011. г., Приступљено 2. 6. 2010 
• Клеин, Фелиx (1878—79), „Üбер дие Трансформатион сиебентер Орднунг дер еллиптисцхен Функтионен (Он тхе севентх ордер трансформатион оф еллиптиц фунцтионс)”, Матхематисцхе Аннален, 14: 90—135 (ин Оеуврес, Томе 3), дои:10.1007/БФ01677143, Архивирано из оригинала 24. 2. 2012. г., Приступљено 1. 3. 2020 
• Клеин, Фелиx (1879), „Уебер дие Трансформатион елфтер Орднунг дер еллиптисцхен Фунцтионен (Он тхе елевентх ордер трансформатион оф еллиптиц фунцтионс)”, Матхематисцхе Аннален, 15 (3–4): 533—555, дои:10.1007/БФ02086276, цоллецтед ас пп. 140–165 ин Оеуврес, Томе 3. 
• Ландо, Сергеи К.; Звонкин, Алеxандер К. (2004), Грапхс он Сурфацес анд Тхеир Апплицатионс, Енцyцлопаедиа оф Матхематицал Сциенцес: Лоwер-Дименсионал Топологy II, 141, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-00203-1, Збл 1040.05001 . Сее еспециаллy цхаптер 2, "Дессинс д'Енфантс", пп. 79–153.
• Сцхнепс, Леила, ур. (1994), Тхе Гротхендиецк Тхеорy оф Дессинс д'Енфантс, Лондон Матхематицал Социетy Лецтуре Ноте Сериес, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-47821-2 
• Сцхнепс, Леила; Лоцхак, Пиерре, ур. (1997), Геометриц Галоис ацтионс II. Тхе инверсе Галоис проблем, модули спацес анд маппинг цласс гроупс. Процеедингс оф тхе цонференце он геометрy анд аритхметиц оф модули спацес, Луминy, Франце, Аугуст 1995, Лондон Матхематицал Социетy Лецтуре Ноте Сериес, 243, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-59641-6, Збл 0868.00040 
• Схабат, Г.Б.; Воедводскy, V.А. (2007) [1990], „Драwинг цурвес овер нумбер фиелдс”, Ур.: Цартиер, П.; Иллусие, L.; Катз, Н.M.; Лаумон, Г.; Манин, Yу.I.; Рибет, К.А., Тхе Гротхендиецк Фестсцхрифт Волуме III, Модерн Биркхäусер Цлассицс, Биркхäусер, стр. 199—227, ИСБН 978-0-8176-4568-7, Збл 0790.14026 
• Сингерман, Давид; Сyддалл, Роберт I. (2003), „Тхе Риеманн Сурфаце оф а Униформ Дессин”, Беитрäге зур Алгебра унд Геометрие (Цонтрибутионс то Алгебра анд Геометрy), 44 (2): 413—430, МР 2017042, Збл 1064.14030 
• Заппони, Леонардо (август 2003), „Wхат ис а Дессин д'Енфант” (ПДФ), Нотицес оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 50 (7): 788—789, Збл 1211.14001 
• Аморóс, Јауме; Бургер, Марц; Цорлетте, Кевин; Котсцхицк, Диетер; Толедо, Доминго (1996), Фундаментал Гроупс оф Цомпацт Кäхлер Манифолдс, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 44, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0498-8, МР 1379330, дои:10.1090/сурв/044 
• Бартх, Wолф П.; Хулек, Клаус; Петерс, Цхрис А.M.; Ван де Вен, Антониус (2004) [1984], Цомпацт Цомплеx Сурфацес, Спрингер, ИСБН 978-3-540-00832-3, МР 2030225, дои:10.1007/978-3-642-57739-0 
• Цаннас да Силва, Ана (2001), Лецтурес он Сyмплецтиц Геометрy, Лецтуре Нотес ин Матхематицс, 1764, Спрингер, ИСБН 978-3540421955, МР 1853077, дои:10.1007/978-3-540-45330-7 
• Гриффитхс, Пхиллип; Харрис, Јосепх (1994) [1978]. Принциплес оф Алгебраиц Геометрy. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0-471-05059-9. МР 0507725. 
• Кäхлер, Ерицх (1933), „Ùбер еине бемеркенсwерте Хермитесцхе Метрик”, Абх. Матх. Сем. Унив. Хамбург, 9: 173—186, ЈФМ 58.0780.02, дои:10.1007/БФ02940642 
• Хуyбрецхтс, Даниел (2005), Цомплеx Геометрy: Ан Интродуцтион, Спрингер, ИСБН 978-3-540-21290-4, МР 2093043 
• Кобаyасхи, Схосхицхи; Номизу, Катсуми (1996) [1969], Фоундатионс оф Дифферентиал Геометрy, 2, Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 978-0-471-15732-8, МР 1393941 
• Мороиану, Андреи (2007), Лецтурес он Кäхлер Геометрy, Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс, 69, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-68897-0, МР 2325093, арXив:матх/0402223 , дои:10.1017/ЦБО9780511618666 
• Воисин, Цлаире (2004), „Он тхе хомотопy тyпес оф цомпацт Кäхлер анд цомплеx пројецтиве манифолдс”, Инвентионес Матхематицае, 157 (2): 329—343, Бибцоде:2004ИнМат.157..329В, МР 2076925, арXив:матх/0312032 , дои:10.1007/с00222-003-0352-1 
• Зхенг, Фангyанг (2000), Цомплеx Дифферентиал Геометрy, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2163-3, МР 1777835 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Риеманн сурфаце”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Г.V. Бусхманова (2001). „Цонформал геометрy”. Ур.: Хазеwинкел Мицхиел. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Кäхлер манифолд”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Мороиану, Андреи (2004), Лецтурес он Кäхлер Геометрy (ПДФ)