Многострукост

Из Википедије, слободне енциклопедије
На сфери, збир углова троугла није једнак 180°. Сфера није еуклидски простор, али локално су закони еуклидске геометрије добра апроксимација. Код малог троугла на површини Земље, збир углова троугла је врло близу 180°. Сфера се може представити као скуп дводимензионих мапа, па је стога сфера многострукост.

Многострукост је апстрактан математички простор у коме свака тачка има околину која подсећа на еуклидски простор, али чија глобална структура може бити компликованија. Када се проучавају многострукости, појам димензије је важан. На пример, праве су једнодимензионе, а равни су дводимензионе.

У једнодимензионој многострукости (један-многострукост), свака тачка има околину која изгледа као сегмент праве. Примери један-многострукости су права, круг, и два одвојена круга. Код два-многострукости, свака тачка има околину која подсећа на диск. Као примери се могу узети раван, површина сфере, и површина торуса.

Многострукости су важни објекти у математици и физици, јер омогућавају да се компликованије структуре изразе и схвате у оквирима релативно добро разумљивих својстава једноставнијих простора.

Често се на многострукостима дефинишу додатне структуре. Примери многострукости са додатним структурама су диференцијабилне многострукости, на којима можемо да вршимо математичку анализу, Риманове многострукости, на којима могу да се дефинишу раздаљине и углови, симплектичке многострукости које служе као фазни простор у класичној механици, и четвородимензионе псеудо-Риманове многострукости, које моделују простор-време у општој релативности.

Да би се у потпуности разумела математика која лежи у основи многострукости, неопходно је познавати елементарне концепте који се тичу скупова и функција, а од користи је имати и радно знање из анализе и топологије.

Примери[уреди]

Кружница[уреди]

Слика 1: Четири карте од којих свака пресликава део кружнице у отворени интервал, заједно покривају целу кружницу. Узима се да је почетак у средишту кружнице.

Кружница је најједноставнији пример тополошке многострукости после праве. Топологија игнорише савијања, тако да мали одељак је кружнице једнак малом делу линије. Посматрајмо на пример, горњу половину јединичне кружнице (кружнице са полупречником 1), x2 + y2 = 1, где су y координате позитивне (означено жутом на слици 1). Свака тачка ове полукружнице се на јединствен начин може описати својом x координатом. Тако се пројектовањем на прву координату добија непрекидно пресликавање из полукруга и отвореног интервала (−1, 1):

 \chi_{\mathrm{gore}}(x,y) = x \,

и слично

 \chi_{\mathrm{desno}}(x,y) = y. \,

Таква функција се зове карта. Постоје одговарајуће карте за доњи (црвена), леви (плава) и десни (зелена) део кружнице. Заједно ови делови покривају целу кружницу и четири карте формирају атлас дате кружнице.

Горња и десна карта се преклапају: њихов пресек лежи у четвртини кружнице где су и x и y координате позитивне. Карте χgore и χdesno обе пресликавају овај део бијективно на интервал (0, 1). Стога се може конструисати функција T са (0, 1) на самог себе, која прво инвертује жуту карту да би дошла до круга, а затим користи зелену карту назад на интервал. Нека је a неки број из (0, 1), онда:

 T(a) = \chi_{\mathrm{desno}}\left(\chi_{\mathrm{gore}}^{-1}(a)\right) = \chi_{\mathrm{desno}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) = \sqrt{1-a^2}.

Таква функција се зове транзиционо пресликавање.

Слика 2: Карта многострукости кружнице, која покрива све изузев једне тачке кружнице.

Горња, доња, лева и десна карта показују да је кружница многострукост, али оне не чине једини могући атлас кружнице. Карте не морају да буду геометријске пројекције, а њихов број је донекле ствар избора. Посматрајмо карте

\chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}

и

\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}.

Овде је s нагиб линије кроз тачку накоординатама (x, y) и фиксирану пивот тачку (−1, 0); t је слика у огледалу, са пивот тачком (+1, 0). Инверзно пресликавање са s на (x, y) гласи

x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}};

и лако се може проверити да x2+y2 = 1 за све вредности нагиба s. Ове две карте чине нови атлас за кружницу, са

t = {1\over s}.

Свака карта изузима једну тачку, или (−1, 0) за s или (+1, 0) за t, тако да ниједна карта сама по себи није довољна да покрије целу кружницу. Није могуће покрити целу кружницу једном картом, јер је кружница двоструко повезана, а линија је просто повезана. Треба имати у виду да је могуће констуисати кружницу залепљивањем једног одсечка праве, али ово не чини карту, јер ће се део круга пресликавати у обе залепљене области у исто време.