Велики бројеви

Велики бројеви су бројеви знатно већи од оних који се обично користе у свакодневном животу (на примјер у једноставном бројању или у новчаним трансакцијама), а често се појављују у пољима као што су математика, козмологија, криптографија и статистичка механика. Они су обично велики позитивни цели бројеви, или опћенито, велики позитивни реални бројеви, али могу бити и други бројеви у другим контекстима. Гугологија је проучавање номенклатуре и својстава великих бројева.

У свакодневном свету

Научна нотација је створена да обради широк спектар вредности које се јављају у научним студијама. 1,0 × 10⁹, на пример, значи једну милијарду, или 1 праћено са девет нула: 1 000 000 000. Реципрочно, 1,010⁻⁹, значи једна милијардитина, или 0,000 000 001. Писање 10⁹ уместо девет нула поштеђује читаоца труда и опасности од бројања дугачког низа нула да би видели колики је број. Поред научне (освнове 10) нотације, следећи примери укључују (кратку скалу) систематску номенклатуру великих бројева.

Примери великих бројева који описују свакодневне предмете из стварног света укључују:

• Број ћелија у људском телу (процењен на 3,72 × 10¹³)), или 37,2 трилиона
• Број битова на хард диску рачунара (према подацима из 2024. године, обично око 10¹³, 1–2 ТБ), или 10 трилиона
• Број неуронских веза у људском мозгу (процењује се на 10¹⁴), или 100 трилиона
• Авогадрова константа је број „елементарних ентитета“ (обично атома или молекула) у једном молу; број атома у 12 грама угљеника-12 – приближно 7023602200000000000♠6,022×10²³, или 602,2 секстилиона.
• Укупан број базних парова ДНК база унутар целокупне биомасе на Земљи, као могућа апроксимација глобалног биодиверзитета, процењен је на (5,3 ± 3,6) × 10³⁷, односно 53±36 ундецилиона
• Маса Земље се састоји од око 4 × 10⁵¹, или 4 сексдецилиона, нуклеона
• Процењени број атома у видљивом универзуму (10⁸⁰), или 100 квинвигинтилиона
• Доња граница сложености стабла игре у шаху, такође позната као „Шенонов број“ (процењена на око 10¹²⁰), или 1 новемтригинтилион
  • Треба имато на уму да је ово вредност Шеноновог броја за стандардни шах. Она има још веће вредности за варијанте шаха са већом таблом као што су Грант Ејседрекс, Тај Шоги и Тајкјоку Шоги.

Астрономски

Други велики бројеви, у погледу дужине и времена, налазе се у астрономији и космологији. На пример, тренутни модел Великог праска сугерише да је универзум стар 13,8 милијарди година (4,355 × 10¹⁷ секунди) и да је видљиви универзум пречника 93 милијарде светлосних година (8,8 × 10²⁶ метара) и да садржи око 5 × 10²² звезда организованих у око 125 милијарди (1,25 × 10¹¹) галаксија, према запажањима свемирског телескопа Хабл. Према грубој процени, постоји око 10⁸⁰ атома у видљивом универзуму.

Према Дону Пејџу, физичару са Универзитета Алберта, Канада, најдуже коначно време које је било који физичар до сада експлицитно израчунао је

$10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ godina}}$

што одговара скали процењеног Поенкареовог времена понављања за квантно стање хипотетичке кутије која садржи црну рупу са процењеном масом читавог универзума, видљивом или не, уз претпоставку одређеног инфлаторног модела са инфлатоном чија је маса 10⁻⁶ Планкове масе. Ово време претпоставља статистички модел који подлеже Поенкареовом понављању. Знатно поједностављен начин размишљања о овом времену је у моделу где се историја универзума понавља произвољно много пута због својстава статистичке механике; ово је временска скала када ће први пут поново бити донекле сличан (за разуман избор „сличног“) свом тренутном стању.

Комбинаторни процеси брзо стварају још веће бројеве. Факторијалска функција, која дефинише број пермутација на скупу фиксних објеката, расте веома брзо са бројем објеката. Стирлингова формула даје прецизан асимптотски израз за ову брзину раста.

Комбинаторни процеси генеришу веома велике бројеве у статистичкој механици. Ови бројеви су толико велики да се обично позивају само на њихове логаритме.

Геделови бројеви и слични бројеви који се користе за представљање низова битова у алгоритамској теорији информација су веома велики, чак и за математичке исказе разумне дужине. Међутим, неки патолошки бројеви су чак и већи од Геделових бројева типичних математичких тврдњи.

Логичар Харви Фридман је спровео истраживања на веома великим бројевима, као што су Краскалова теорема стабла и Робертсон-Сејмурова теорема.

„Милијарде и милијарде”

Да би помогао гледаоцима Космоса да разликују „милионе” и „милијарде”, астроном Карл Саган је наглашавао разлику. Саган, међутим, никада није рекао „милијарде и милијарде“. Јавно повезивање фразе и Сагана дошло је из шоа Тонигхт Схоw. Пародирајући Саганов ефекат, Џони Карсон је шалио рекавши „милијарде и милијарде“. Фраза је, међутим, сада постала духовит фиктивни број - Саган.Цф., Саганова јединица.