Jakobijevi polinomi

Jakobijevi polinomi, često zvani i hipergeometrijski polinomi su klasični ortogonalni polinom predstavljeni formulom:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.$

Gegenbauerovi polinomi, Ležandrovi polinomi i Čebiševljevi polinomi predstavljaju specijalni slučaj Jakobijevih polinoma. Jakobijeve polinome otkrio je 1859. nemački matematičar Karl Gustav Jakobi.

Diferencijalna jednačina

Jakobijevi polinomi predstavljaju rešenje linerane homogene diferencijalne jednačine drugoga reda:

$(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,$

Definicija

Jakobijevi polinomi definisani su pomoću hipergeometrijske funkcije:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),$

gde $(\alpha +1)_{n}$ predstavlja Pohhamerov simbol. U tom slučaju razvojem se dobija:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}~.$

Rodrigezova formula

Jakobijevi polinomi mogu da se definišu i pomoću Rodrigezove formule:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.$

Generirajuća funkcija

Generirajuća funkcija Jakobijevih polinoma je:

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)w^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-w+R)^{-\alpha }(1+w+R)^{-\beta }~,$

gde

$R=R(z,w)={\big (}1-2zw+w^{2}{\big )}^{1/2}~,$

Rekurzija

Relacije rekurzije za Jakobijeve polinome su:

${\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad \qquad -2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z)~,\quad n=2,3,\dots \end{aligned}}$

Nekoliko prvih polinoma je:

$P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1$

$P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right]$

$P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right]$

Izraz za realni argument

Za realno x Jakobijevi polinomi mogu da se pišu i kao:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}$

gde su s ≥ 0 i n-s ≥ 0, a za celobrojno n

${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$

U gornjoj jednačini Γ(z) je gama funkcija. U specijalnom slučaju, kada su n, n+α, n+β, and n+α+β nenegativni celi brojevi Jakobijevi polinomi mogu da se napišu kao:

${\begin{aligned}&P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\\&\qquad \times \sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.\end{aligned}}$

Ortogonalnost

Jakobijevi polinomi za α > -1 i β > -1 zadovoljavaju uslov ortogonalnosti:

${\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\&\quad ={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}\end{aligned}}$

Težinska funkcija je bila:

$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$.

Oni nisu ortonormalni, a za normalizaciju:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$

Simetrija

Jakobijevi polinomi zadovoljavaju sledeće relacije simetrije:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);$

pa je

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Asimptotski izrazi

Za x unutar intervala [-1, 1], asimptotska vrednost P_n^(α,β) za veliki n dan je:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-1/2}\cos(N\theta +\gamma )+O(n^{-3/2})~,$

gde

${\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-1/2}\sin ^{-\alpha -1/2}{\frac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -1/2}{\frac {\theta }{2}}~,\\N&=n+{\frac {\alpha +\beta +1}{2}}~,\\\gamma &=-(\alpha +{\frac {1}{2}}){\frac {\pi }{2}}~,\end{aligned}}$

Asimptote blizu ±1 dane su sa:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{\alpha ,\beta }\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~,\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{\alpha ,\beta }\left(\cos \left[\pi -{\frac {z}{n}}\right]\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)~,\end{aligned}}$

Veza sa Vignerovom d-matricom

Jakobijevi polinomi povezani su sa Vignerovom D-matricom:

$d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).$

Literatura

• Jakobijevi polinomi
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.