Bernulijeva raspodela

U teoriji verovatnoće i statistici, Bernulijeva raspodela, nazvana po švajcarskom matematičaru Jakobu Bernuliju, je diskretna raspodela verovatnoće slučajne promenljive koja uzima vrednost 1 sa verovatnoćom $p$ a vrednost 0 sa verovatnoćom $q=1-p$ . Manje formalno, može se smatrati modelom za skup mogućih ishoda bilo kog pojedinačnog eksperimenta koji postavlja pitanje da-ne. Takva pitanja dovesti do ishoda koji su Bulovi rezultati: jedan bit čija je vrednost uspeh / da / istina / jedan od verovatnoća p i neuspeh / ne / lažno / nula sa verovatnoća K. Može se koristiti za predstavljanje (moguće pristrasnog) bacanja novčića gde bi 1 i 0 predstavljali „glave“ i „pisma“ (ili obrnuto), a p bi predstavljalo verovatnoću da će novčić pasti na glavu ili rep.

Bernulijeva raspodela je poseban slučaj binomne distribucije gde se sprovodi jedno ispitivanje (tako da bi n bilo 1 za takvu binomnu distribuciju). To je takođe poseban slučaj distribucije u dve tačke, za koju mogući ishodi ne moraju biti 0 i 1.

Svojstva

Ako je $X$ slučajna promenljiva sa ovom raspodelom, onda je:

$\Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.$

Funkcija mase verovatnoće funkcije $f$ ove raspodele, preko mogućih ishoda k, je

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}$

Takođe se može izraziti kao:

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}$

ili se može izraziti kao:

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.$

Bernulijeva raspodela je poseban slučaj binomske raspodele sa $n=1.$

Kurtozis ide u beskonačnost za visoke i niske vrednosti parametra $p,$ ali za parametar $p=1/2$ raspodela u dve tačke uključujući Bernulijevu raspodelu ima niži višak ekscesa od bilo koje druge raspodele verovatnoće, tj. −2.

Bernulijeva raspodela za $0\leq p\leq 1$ formira eksponencijalnu porodicu .

Procena maksimalne verovatnoće za parametar $p$ na osnovu slučajno odabranog uzorka je srednja vrednost uzorka .

Značenje

Očekivana vrednost Bernulijeve slučajno odabrane promenljive $X$ je

$\operatorname {E} \left(X\right)=p$

Ovo znamo zbog činjenice da je za Bernulijevu raspodeljenu slučajnu promenljivu $X$ sa $\Pr(X=1)=p$ i $\Pr(X=0)=q$ nalazimo:

$\operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Promenljivost

Raspodela varijanse Bernulija $X$ je:

$\operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)$

Prvo možemo naći:o

$\operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]$

Iz ovoga se da uslediti:

$\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq$

Sa ovim rezultatom lako je dokazati da će za bilo koju Bernulijevu raspodelu njena varijansa imati vrednost u prostiranju $[0,1/4]$ .

Iskrivljenost (Skewness)

Iskrivljenost predstavlja ${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$ . Kada usvojimo standardizovanu Bernulijevu raspodeljenu slučajnu promenljivu ${\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}$ nalazimo da ova slučajna promenljiva dostiže ${\frac {q}{\sqrt {pq}}}$ sa verovatnoćom $p$ i postiže $-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}$ sa verovatnoćom $q$ . Tako možemo da dobijemo

${\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}$

Viši momenti i kumulanti

Svi sirovi(nobrađeni) momenti su jednaki zbog činjenice da je $1^{k}=1$ i $0^{k}=0$ .

$\operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].$

Centralni trenutak reda $k$ daje sledeću jednačinu:

$\mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.$

Prvih šest centralnih momenata su sledeći:

${\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}$

Dok viši centralni momenti mogu se kompaktnije izraziti u terminima $\mu _{2}$ i $\mu _{3}$, što je prikazano ispod:

${\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}$

Prvih šest kumulanata su sledeći:

${\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}$

Povezane raspodele

• Ako su $X_{1},\dots ,X_{n}$ nezavisne, identično raspoređene ( i.i.d. ) slučajne promenljive, sva Bernulijeva ispitivanja sa verovatnoćom uspeha p, onda se njihov zbir raspoređuje prema binomnoj raspodeli sa parametrima n i p :

  $\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)$ ( binomna raspodela).

Bernulijeva raspodela je jednostavna $\operatorname {B} (1,p)$, takođe napisana kao funkcija: ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Kategorijska raspodela je generalizacija Bernulijeve raspodele za promenljive sa bilo kojim konstantnim brojem diskretnih vrednosti.
• Beta distribucija je konjugovani prethodnik Bernulijeve raspodele.
• Geometrijska distribucija modelira broj nezavisnih i identičnih Bernulijevih pokušaja potrebnih za postizanje jednog uspeha.
• Ako ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, onda ${\textstyle 2Y-1}$ ima Rademaherovu distribuciju .

Vidi još

• Bernulijev proces, slučajni proces koji se sastoji od niza nezavisnih Bernulijevih ispitivanja
• Bernulijevo uzorkovanje
• Binarna entropijska funkcija
• Binarni dijagram odlučivanja

Dodatna literatura

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (2nd izd.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9. 
• Peatman, John G. (1963). Introduction to Applied Statistics. New York: Harper & Row. str. 162–171. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001) [1994], „Binomial distribution”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4  .
• Interaktivna grafika: Jednovarijantni odnosi distribucije .