Beskvadratni broj

U matematici, beskvadratni, ili quadratfrei  (iz nemačkog jezika) ceo broj, je ceo broj koji je nedeljiv ni sa jednim drugim savršenom stepenom sem 1. Na primer, 10 je beskvadrat broj, ali 18 nije, jer 18 je deljivo sa 9 = 3². Manji pozitivni beskvadratni brojevi su

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sekvenca A005117 u OEIS)

Ekvivalentne karakterizacije

Pozitivni broj n je beskvadrat ako i samo ako je osnovna teorema aritmetike n, ne prost broj javlja više od jednom. Drugi način navođenja je isto što i za svaki prost deljivost p od n, prost broj p neravnomerno deli n / p. Još jedna formulacija: n je beskvadratni broj ako i samo ako svaki činilac n = ab, činioci a i b su uzajamno prosti. Neposredna posledica ove definicije je da svi prosti brojevi su beskvadratni brojevi.

Ceo pozitivni broj n je beskvadrat ako i samo ako μ(n) ≠ 0, gde je μ označava Mebijusovu funkciju.

Ceo pozitivni broj n je beskvadrat ako i samo ako sve Abelove grupe n are izomorfne, što je slučaj ako i samo ako su svi ciklični. To sledi iz klasifikacije konačno ostvarenih abelovih grupa.

Ceo broj n je beskvadratni broj ako i samo ako činilac prstena Z / nZ (vidi Modularna aritmetika) je proizvod polja. To sledi iz kineske teoreme o ostacima i činjenice da je prsten u oblikuZ / kZ prsten ako i samo ako je k prost broj.

Za svaki ceo prirodni broj n, skup svih pozitivnih delilaca n postaje delimično naredba skupa ako koristimo deljivosti reda odnosa. Ovo je delimično naredba skup da bude uvek distributivnog rešenja. To je Bulova algebra ako i samo ako je n beskvadratni broj.

Radikalni ceo broj je uvek beskvadrat: ceo broj je beskvadrat ako je jednak njegovom radikalnom.

Dirikleova opšta funkcija

Dirikleova opšta funkcija za beskvadratni broj je

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}$ gde je ζ(s) Rimanova zeta-funkcija

Lako je videti iz Ojlerovog proizvod

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).$

Distribucija

Neka je Q(x) označava broj beskvadratnih prirodnih brojeva između 1i x. Za velika n, 3/4 pozitivnih celih brojeva manji od n ali nedeljivih sa 4, 8/9 nedeljivih sa9, itd. Pošto su ovi događaji nezavisni, dobijamo aproksimaciju:

$Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}$

$Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}$

Ovaj argument može biti opasan ali i vrlo dobar

$Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)$

(vidi Pi i veliko O). Korišćenje najveće poznate nula-slobode okruga Rimanove zeta funkcije, zbog Ivan Matvejevič Vinogradov, M. N. Korobov i Hans Egon Ričert, maksimalna veličina termina greške je smanjio Arnold Volfis i imamo

$Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).$

Za neku pozitivnu konstantu c. Prema Rimanovoj hipotezi, termin greške se može dalje smanjiti da se dobije

$Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).$

Vidi razliku između beskvadratnih brojeva do n i približno (n/ζ(2)) u OEIS:

A158819 – (Broj beskvadratnih brojeva≤ n)minus približno (n/ζ(2)). ]

Asimptotska / prirodna gustina beskvadratnih brojeva je, dakle,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}$

gde jeζ Rimanova zeta-funkcija i 1/ζ(2) je skoro 0.6079 (uvek 3/5 celih brojeva su beskvadratni).

Isto tako, ako Q(x,n)označava broj n-slobodan ceo broje.g. 3-slobodni celi brojevi bez kuba celih brojeva)između1 i x, može se pokazati kao

$Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).$

Kodiranje kao binarni brojevi

Ako predstavljamo beskvadratni broj kao beskonačni proizvod:

$\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n}},a_{n}\in \lbrace 0,1\rbrace ,{\text{ and }}p_{n}{\text{ is the }}n{\text{th prime}}.$

onda možemo uzeti one $a_{n}$ i koristiti ih kao bitove u binarnom broju, odnosno sa kodiranjem:

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}$

na primer. Na beskvadratnom broju 42 ima činilaca2 × 3 × 7, ili kao beskonačan proizvod: 2¹ · 3¹  · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ · ...; Tako broj 42 može biti kodiran kao binarni broj...001011 ili 11 decimala. (Paziti da su binarne cifre obrnute u beskonačnim proizvodima).

Pošto je prosta faktorizacija svakog broja jedinstvena, tako je i svaki binarni kod beskvadratni prirodni broj.

Suprotno je takođe tačno. Pošto svaki pozitivni ceo broj ima jedinstvenu binarnu zastupljenost moguće je preokrenuti ovaj kod tako da se mogu "dekodirati" u jedinstven ceo beskvadratni broj.

Opet, na primer, ako se počne sa brojem 42, ovaj put je definisan kao pozitivan ceo broj, ima svoju binarnu reprezentaciju101010. Ovaj "dekod" postaje 2⁰ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

Tako je u redu kodiranje beskvadratnih prirodnih brojeva kao permutacije skupova svih celih brojeva.

Vidi sekvence A019565, A048672 i A064273 u OEIS

Erdosov hipoteza beskvadratnog broja

Centralni binomni koeficijent

${2n \choose n}$

nije nikada beskvadratni broj za n > 4. Ovo je dokazao godine 1985. za sve dovoljno velike cele brojeve Andraš Sarkozi, i za sve cele brojeve > 4 1996. godine Oliver Ramare i Andrej Gronvij.

Jezgro beskvadratnih brojeva

Multiplikativna funkcija $\mathrm {core} _{t}(n)$ je definisana da mapira pozitivne cele brojeve n do t-slobodne brojeve smanjivanjem nosilaca u prostim stepenima reprezentacije modula t:

$\mathrm {core} _{t}(p^{e})=p^{e\mod t}.$

vrednost kompleta $\mathrm {core} _{2}$, posebno su beskvadratni celi brojevi. Njihove Dirklet opšte funkcije su

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mathrm {core} _{t}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}}$.

OEIS reprezentacije su A007913 (T=2) i A053165 (T=4).

Literatura

• Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). „Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. Mathematika. 43: 73—107. MR 1401709. Zbl 0868.11009. doi:10.1112/S0025579300011608. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.