Мебијусова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Класична Мебијусова функција, у ознаци \mu(n), је значајна мултипликативна функција у теорији бројева и комбинаторици. Добила је име по немачком математичару Аугусту Фернанду Мебијусу који је дефинисао 1832. године.

Дефиниција[уреди]

\mu(n) је дефинисана за све позитивне целе бројеве n којима додељује једну од вредности {-1, 0, 1}, у зависности од факторизације броја n на просте чиниоце. Задата је на следећи начин:

\mu(n)=\begin{cases}1 & \mbox{kada je } n=1 \\ (-1)^k & \mbox{kada } n \mbox{ nije deljivo potpunim kvadratom, } k \mbox{ je broj prostih činilaca} \\ 0 & \mbox{inače } \end{cases}

Другим речима,

  • \mu(n) = 1 ако је n позитиван цео број који није дељив потпуним квадратом, и има паран број различитих простих чинилаца.
  • \mu(n) = -1 ако је n позитиван цео број недељив потпуним квадратом са непарним бројем различитих простих чинилаца.
  • \mu(n) = 0 ако је n дељиво потпуним квадратом.

Еквивалентан начин да се то искаже је да се дефинишу две функције

ω(n), број различитих простих бројева који су делиоци броја n и
Ω(n), број простих чинилаца броја n, при чему се броје сва појављивања. Јасно је да важи ω(n) ≤ Ω(n).

Онда је

\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\mbox{ako je }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\mbox{ako je }\;\omega(n) < \Omega(n).\end{cases}


Одавде следи да је μ(1) = 1, пошто број 1 има паран број, односно нула простих чинилаца. Вредност μ(0) није дефинисана.

Вредности Мебијусове функције за првих 20 позитивних целих бројева:

 n   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20 
 μ(n)   1   -1   -1   0   -1   1   -1   0   0   1   -1   0   -1   1   1   0   -1   0   -1   0 

На следећој слици је приказано првих 50 вредности Мебијусове функције:

Првих 50 вредности функције

Спољашње везе[уреди]