Kockarska zabluda

Kockarska zabluda (fr. Erreur du parieur), poznata i kao (Zabluda Monte Karlo i Doktrina o zrelosti šanse), jest logička greška koja nastaje kada se zaključi da će nakon odstupanja od proseka odmah slediti odstupanje u suprotnu stranu, tako da se održi ravnoteža. Postoje dve verzije ove greške i u obema se zaključuje kako je "na redu" da se nešto desi samo zato što su prethodni događaji odstupali od očekivane ravnoteže na duge staze.

U prvoj verziji se povezuju događaji potpuno nezavisni jedni od drugih. Pretpostavimo da neko baca novčić i šest puta zaredom pada pismo. Ako se na osnovu toga zaključi da će u sledećem bacanju pasti glava, to je kockarska zabluda, jer su šanse da će pasti glava ili pismo i dalje 50%.

U drugoj verziji se pogrešno povezuju događaji koji su donekle zavisili jedni od drugih. Na primer, bokser je pobedio u 50% mečeva u prethodne dve godine, a sada je šest puta poražen. Ukoliko se na osnovu toga zaključi da će zato pobediti u sledećem meču to je kockarska zabluda.

Zabluda se obično povezuje sa kockanjem gde vlada uverenje da postoji veći stepen verovatnoće da ćemo sledećim bacanjem kockice dobiti šesticu zato što smo je do tada dobijali manje učestalo nego obično. Termin „Zabluda Monte Karlo” potiče od najpoznatijeg primera ovog fenomena koji se desio u kazinu u Monte Karlu 1913. godine.

Primeri

• Marko i Stevan igraju riziko i Marko pobeđuje, jer ima više sreće u bacanju kockica. Stevan se odlučuje za riskantan napad, jer je siguran kako je vreme da se Markova sreća preokrene.

Klasična kockarska zabluda.

• Na dan 18. avgusta 1913. godine u jednom kasinu u Monte Karlu na ruletu su se kuglice zaustavljale na crnom polju dvadeset šest puta zaredom. Nakon petnaesog puta igrači su panično počeli da se klade na crveno. Posle dvadesetog puta su krenuli drastično da povećavaju ulog, jer su bili ubeđeni da nema nikakve šanse da ponovo padne na crno.

Zbog ove primene kockarske zablude je tog dana kazino zaradio više miliona franaka.

Matematičko objašnjenje

Bacanje novčića

Simulacija bacanja novčića; crvena boja predstavlja jednu stranu novčića, a plava drugu; nakon svakog bacanja novčića, dodaje se jedna tačka u zavisnosti na koju stranu je on pao

Kockarska zabluda može da se ilustruje razmatranjem ponovljenog bacanja „poštenog bacanja novčića”. Rezultati različitih bacanja su statistički nezavisni i verovatnoća da se dobije glava u jednom bacanju je ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ (1 u 2). Verovatnoća da se dobiju dve glave iz dva bacanja je ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$ (1 u 4), a tri glave iz tri bacanja je ${\textstyle {\frac {1}{8}}}$ (1 u 8). Uopšteno, ako je A slučaj kada se bacanjem i dobije glava, onda:

$Pr{\biggl (}\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\prod _{i=1}^{n}Pr(A_{i})={\frac {1}{2^{n}}}$

Ukoliko se nakon četiri bacanja dobiju zaredom glave, sledeće bacanje novčića takođe rezultira glavom, to bi zaokružilo niz od 5 uzastopnih glava. Pošto je verovatnoća za niz od 5 uzastopnih glava ${\textstyle {\frac {1}{32}}}$ (1 u 32) neko bi mogao pomisliti da je veća verovatnoća da će sledećim bacanjem dobiti pismo nego opet glavu. Ovo je netačno i jedan je od primera kockarskih zabluda. Događaj „5 glava uzastopce” i događaj  „prvo 4 glave, potom pismo” su podjednako verovatni, za oba događaja je verovatnoća ${\textstyle {\frac {1}{32}}}$. Ako su prva četiri bacanja bila glave, verovatnoća da će sledeće bacanje opet biti glava je:

$Pr(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})=Pr(A_{5})={\frac {1}{2}}$

Dok je za niz od pet glava verovatnoća ${\textstyle {\frac {1}{32}}}$  =  0.03125 (malo preko 3%), razlog za nerazumevanje leži u neshvatanju činjenice da je ovo samo slučaj pre prvog bacanja novčića. Nakon prva 4 bacanja u ovom primeru rezultati nisu više nepoznati, te su njihove verovatnoće jednake 100%. Verovatnoća niza bacanja novčića bilo koje dužine za još jedno bacanje je uvek 0.5.

Razmišljanje da je verovatnije da se petim bacanjem dobije pismo, zato što su rezultati prethodna četiri bacanja glave sa elementom sreće u prošlosti koja utiče na šanse u budućnosti, predstavlja osnovu pogrešnog zaključivanja.

Zašto je za pošteni novčić verovatnoća 1/2

Ukoliko se pošteni novčić baci 21 put verovatnoća da se 21 put dobije glava je 1 u 2,097,152. Verovatnoća da se dobije glava nakon što se prethodno 20 puta zaredom dobila glava je ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$. Pretpostavka poštenog novčića:

   • verovatnoća da se dobije 20 glava a zatim jedno pismo je 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

   • verovatnoća da se dobije 20 glava a zatim opet glava je 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

   • verovatnoća da se dobije 20 glava a zatim jedno pismo i verovatnoća da se dobije 20 glava a zatim opet glava je u oba slučaja 1 u 2,097,152

Kada se baca novčić 21 put podjednako je verovatno da se dobije 21 glava, kao i 20 glava i jedno pismo. Ova dva ishoda su podjednako verovatna kao i bilo koje druge kombinacije koje se mogu dobiti dvadeset i jednim bacanjem novčića. Sve kombinacije 21 bacanja će imati verovatnoću od 0.5²¹.  Pretpostavka da se promena u verovatnoći dešava kao rezultat ishoda je netačna zato što je ishod svakog niza podjednako verovatan kao i drugi ishodi. U skladu sa Bajesovom teoremom verovatni ishod svakog bacanja je verovatnoća poštenog novčića koja iznosi ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$.

Drugi primeri

Ova zabluda vodi do pogrešne predstave da će prethodni neuspesi stvoriti povećanu verovatnoću uspeha u narednim pokušajima. Kada bacamo telo sa 16 strana verovatnoća bilo kog ishoda je ${\textstyle {\frac {1}{16}}}$ (6.25%). Ukoliko kao dobitak definišemo da bacimo jedinicu, verovatnoća da se dobije jedinica bar jednom u 16 bacanja je 1 - ${\textstyle [{\frac {15}{16}}]}$¹⁶  =  64.39%.

Verovatnoća da se ne dobije željeni ishod prilikom prvog bacanja je ${\textstyle {\frac {15}{16}}}$  (93.75%) . Prema zabludi igrač bi trebalo da ima veće šanse za dobitak nakon što jednom ne dobije željeni ishod. Verovatnoća da se bar jednom dobije željeni ishod je 1 - [${\textstyle {\frac {15}{16}}}$]¹⁵ = 62.02%.

Svakim propuštenim bacanjem verovatnoća za pobedu pada za dva postotna poena. Sa 5 propuštenih bacanja i preostalih 11 bacanja verovatnoća za pobedu pada na 0.5 (50%). Verovatnoća za bar jedan dobitak se ne povećava nakon serije gubitaka;  zapravo, verovatnoća za uspeh pada, pošto preostaje manje pokušaja da se pobedi. Verovatnoća za pobedu će se izjednačiti sa verovatnoćom za dobitkom nakon jednog bacanja koje iznosi ${\textstyle {\frac {1}{16}}}$ (6.25%), do čega dolazi kada je preostalo samo jedno bacanje.

Obrnuta pozicija

Nakon dosledne tendencije za dobijanje pisma kockar može da zaključi da je veća verovatnoća da će dobiti pismo. Verujući da su veće šanse da dobije pismo kockar ne vidi razlog da veruje u suprotno. Pogrešno zaključivati da niz pokušaja nosi sećanje na prošle rezultate koji imaju tendenciju da favorizuju ili ne favorizuju buduće ishode. Inverzna ili obrnuta kockarska zabluda koju je opisao Ian Heking je situacija u kojoj kockar ulazi u sobu i videvši da je osoba dobila dve šestice bacivši dve kockice može pogrešno da zaključi da je ta osoba bacala kockice duže vreme pošto je mala verovatnoća da se dobiju dve šestice prilikom prvog pokušaja.

Retrospektivna kockarska zabluda

Istraživači su ispitivali da li slična predrasuda postoji i prilikom izvođenja zaključaka i o nepoznatim događajima iz prošlosti koje se bazira na poznatom nizu događaja koji su prethodili a koje se naziva „retrospektivna kockarska zabluda”.

Primer ove logičke greške bio bi kada bismo na osnovu dobijene glave prilikom više uzastopnih  bacanja kockice  zaključili da je ovome prethodilo dobijanje pisma. Smatra se da je jedan od primera retrospektivne kockarske zablude u stvarnosti događaj kao što je poreklo svemira. U svojoj knjizi „Univerzumi” Džon Lesli tvrdi da „prisustvo ogromnog broja svetova veoma različitih po svojim odlikama može biti najbolje objašnjenje zašto je u bar jednom  svetu  moguć  život”. Danijel M. Openhajmer i Benoa Monin tvrde da „drugim rečima najbolje objašnjenje za malo verovatan događaj je da je to samo jedan od više pokušaja što je srž intuicije obrnute kockarske zablude”. Još uvek traju filozofske rasprave o tome da li su ovakvi argumenti zabluda ili ne navodeći da postojanje našeg sveta ne govori ništa o postojanju drugih svetova ili pokušaja nastanka istih. Tri studije koje uključuju i studente Stanford univerziteta su testirale postojanje retrospektivne kockarske zablude. Sve tri studije su pokazale da ljudi imaju kockarske zablude ne samo retrospektivno, već i o budućim događajima. Autori sve tri studije su zaključili da njihova otkrića imaju značajne „metodološke implikacije”, ali mogu takođe imati i „važne teoretske implikacije” koje zahtevaju dalje istraživanje navodeći da „temeljno razumevanje ovakvih procesa zaključivanja zahteva ne samo da ispitamo kako oni utiču na naša predviđanja budućnosti, već i kako se odražavaju na našu percepciju prošlosti”.

Rođenje deteta

1796. godine Pjer Simon Laplas je u svom Filozofskom eseju o verovatnoći opisao načine na koje su muškarci izračunavali verovatnoću da će dobiti sinove: „Viđao sam muškarce koji su žarko želeli da dobiju sina koji su sa zabrinutošću primali vesti o rođenju dečaka u mesecu kada su očekivali da postanu očevi. Polazeći od pretpostavke da udeo rođenih devojčica treba da bude isti na kraju svakog meseca, zaključivali su da ukoliko se više dečaka rodilo do tog trenutka, time se povećava verovatnoća da će se u narednom periodu više rađati devojčice.” Budući očevi su se plašili da ukoliko je više sinova rođeno u okruženju, time se povećava verovatnoća da će dobiti ćerku. Ovaj Laplasov esej se smatra kao jedan on najranijih opisa zablude. Nakon što im se rodi više dece istog pola neki roditelji su skloni da poveruju da je vrlo verovatno da će sledeće dete biti suprotnog pola. Dok  prema Trivers-Vilard hipotezi pol deteta zavisi od uslova života, navodeći da se više muške dece rađa u dobrim životnim uslovima, dok se više ženske dece rađa u lošijim, još uvek se smatra da je verovatnoća da se dobije dete oba pola blizu 0,5 (50%).

Monte Karlo kazino

U jednom kasinu u Monte Karlu 18. avgusta 1913. godine na ruletu su se kuglice zaustavljale na crnom polju dvadeset šest puta zaredom, što je vrlo neuobičajen događaj. Nakon petnaestog puta igrači su panično počeli da se klade na crveno. Posle dvadesetog puta su krenuli drastično da povećavaju ulog, jer su bili ubeđeni da nema nikakve šanse da ponovo padne na crno, i tako su izgubili milione franaka.

Događaji koji su prividno u vezi sa kockarskim zabludama

Događaji koji nisu međusobno nezavisni

Kockarska zabluda se ne odnosi na situacije u kojima verovatnoća različitih događaja nije nezavisna. U takvim slučajevima verovatnoća za buduće događaje može da se menja na osnovu ishoda događaja iz prošlosti, kao što je statistička permutacija događaja. Primer ovoga je kada se izvlače karte iz špila bez zamene. Ukoliko se izvuče as iz špila i ne vrati se u špil manje je verovatno da će se prilikom sledećeg izvlačenja izvući as, a više je verovatno da će biti izvučen drugi broj. Verovatnoća da se izvuče drugi as pod pretpostavkom da je jedan izvučen prilikom prvog izvlačenja i da nema džokera se smanjuje sa ${\textstyle {\frac {4}{52}}}$ (7,69%) na ${\textstyle {\frac {3}{51}}}$ (5.88%),  dok se verovatnoća da se izvuče neki drugi broj povećava sa ${\textstyle {\frac {4}{52}}}$ (7.69%) na ${\textstyle {\frac {4}{51}}}$ (7.84%). Ovaj efekat omogućava korišćenje sistema brojanja karata u igrama kao što je crni Petar.

Uticaj na verovatnoću

U većini primera kockarske zablude i obrnute kockarske zablude pretpostavlja se da je pokušaj, tj. bacanje novčića pošteno. U praksi ova pretpostavka ne mora da bude tačna, npr. ako se novčić baca 21 put verovatnoća da se 21 put dobije glava poštenim novčićem je 1 u 2 097 152. Pošto je verovatnoća toliko mala, ukoliko se to desi vrlo je verovatno da je novčić na neki način naveden da se dobije glava ili da se kontroliše skrivenim magnetima ili nečim sličnim. U ovom slučaju pametno je kladiti se na glavu zbog Bajesovog zaključka na osnovu empirijskog dokaza-21 glava u nizu-sugeriše da je novčić verovatno navođen da padne na glavu. Bajesov zaključak može da se koristi da pokaže da kada je odnos različitih ishoda na duže staze nepoznat, ali razmenljiv (što znači da nasumični proces iz koga nastaju ishodi može biti navođen, ali jednako verovatno navođen u bilo kom pravcu) i da prethodna razmatranja pokazuju verovatni pravac navođenja ishoda koji se najčešće dešavao. U podacima koji se analiziraju će se najverovatnije desiti opet, na primer ukoliko je poznata verovatnoća navođenog novčića recimo 1% pod pretpostavkom da se tako navođenim novčićem dobija glava recimo 60%  vremena, onda nakon 21 dobijene glave verovatnoća navođenog novčića se povećava na 32%. U početnoj sceni komada Toma Stoparda, Rozenkranc i Gildenstern su mrtvi diskutuje se na ovu temu dok jedan čovek neprestano dobija glave bacanjem novčića, a drugi razmatra različita moguća objašnjenja.

Menjanje verovatnoće

Ukoliko spoljni faktori mogu da promene verovatnoću događaja, onda kockarska zabluda ne važi, na primer promena pravila neke igre može dati prednost jednom igraču nad drugim povećavajući njegove/njene šanse za pobedu. Isto tako, uspeh nekog neiskusnog igrača može da se umanji nakon što protivnički timovi saznaju za njegovu slabost i to iskoriste kao svoju prednost. Ovo je još jedan primer uticaja na ishod.

Korisnici

Tipovi korisnika

Brojne studije su otkrile da će različiti donosioci odluka gde su veliki ulozi verovatno u svojim procenama biti pod uticajem snažne negativne autokorelacije.

Sudije azila

U jednoj studiji koja je za cilj imala da se otkrije da li negativna autokorelacija koja postoji kod kockarske zablude postoji i u odluci koje su donele američke sudije azila rezultati su pokazali da nakon dva uzastopna odobrena azila bilo bi 5.5% manje verovatno da će sudija odobriti i treći.

Sudije u bejzbolu

U bejzbolu se odluke donose svakog minuta. Jedna određena odluka koju donose sudije i često je pod lupom javnosti je odluka o zoni udarca.  Kad god udarač ne zamahne palicom sudija mora da odluči da li je lopta bila u opsegu udarača koji se naziva zona udara. Ukoliko je lopta van ove zone, onda se udaraču ne oduzimaju poeni. Rezultati jedne studije u kojoj je analizirano preko 12,000 utakmica pokazuju da je 1.3% manja verovatnoća da sudije dosude dozvoljeno bacanje ako su prethodne dve lopte takođe bile dozvoljeno bacanje.

Službenici koji odobravaju kredite

Obično se navodi da su novčani podsticaju ključni faktor u donošenju odluka sa predubeđenjem kod službenika koji odobravaju kredite, što otežava ispitivanje efekta kockarske zablude. Ipak, istraživanje pokazuje da je 8% manja verovatnoća da će službenici odobriti kredit ukoliko nisu podstaknuti novčanim dobitkom ako su već odobrili jedan kredit prethodnom klijentu.

Igrači lutrije

Igre na sreću podstiču kockare širom sveta da odlučuju koje brojeve da izaberu. Dok većina ljudi ima svoju sopstvenu strategiju, dokazi pokazuju da nakon što je jedan broj izvučen taj isti broj će biti značajno manje zastupljen prilikom selekcije za naredno izvlačenje. Čarls Klot Felter i Filip Kuk su istražili ovaj efekat 1991. u jednoj popularnoj studiji u kojoj su zaključili da igrači igara na sreću prestaju da biraju one brojeve odmah nakon što su izvučeni, te da bi ti brojevi opet bili popularni kroz tri meseca.

Nedugo zatim, Dek Terel je 1994. godine sproveo studiju kako bi testirao otkrića Klot Feltera i Kuka. Ključna promena u Terelovoj studiji je ispitivanje klađenja (totalizator) u kome se za broj na koji se stavljaju manje svote novca dobijaju veći iznosi. Dok je ovo ispitivanje dovelo do zaključka da igrači obe igre na sreću pokazuju ponašanje u skladu sa teorijom kockarske zablude, oni koji su učestvovali u ovoj vrsti klađenja su, čini se, bili pod manjim uticajem.

Literatura

• Stojadinović, Predrag (2014). 50 Logičkih grešaka za koje treba da znate. Smederevo: Heliks. str. 62—63. ISBN 978-86-86059-45-1.