Matematika lutrije

Pod matematikom lutrije podrazumeva se izračunavanje verovatnoća u lutrijskim igrama. Kod nas se u igri Loto najčešće izvlači 7 od 39 brojeva, na zapadu 6 od 49.

Loto m = 7 od n = 39

Kada biramo 7 od 39 elemenata nekog skupa, na prvo mesto možemo staviti jedan od 39 elemenata, na drugo mesto jedan od 38, na treće mesto jedan od 37, na četvrto jedan od 36, pa jedan od 35, jedan od 34 i na sedmo mesto jedan od 33 elementa. Takvih 7-članih nizova ima ukupno

$V_{7}^{39}=39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33=77\ 519\ 922\ 480$

varijacija. Međutim, sve varijacije istih elemenata, ali različitog rasporeda, čine istu kombinaciju. Permutacija 7-članih nizova ima ukupno

$7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot =5\ 040,$

što čitamo sedam faktorijel. Permutacije možemo razumeti (dokazati) na isti način kao i prethodne varijacije. Prema tome, ako različite redoslede istih elemenata računamo kao istu kombinaciju, onda se 7 iz 39 elemenata može birati na

$C_{7}^{39}={\frac {V_{7}^{39}}{7!}}=15\ 380\ 937$

načina. Toliko ima kombinacija igra loto 7 od 39.

Uopšte, broj kombinacija igre loto m od n je

$C_{m}^{n}={\frac {V_{m}^{n}}{m!}}.$

Koliko je načina da u igri loto m = 7 od n = 39 pogodimo k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} brojeva?

Možemo pogoditi k od 7 izvučenih brojeva na C_k⁷ načina, i možemo pogoditi ostalih 7 - k neizvučenih brojeva na C_7-k^39-7 načina. To znači da verovatnoća pogotka sedmice (svih sedam izvučenih, tj. k = 7), šestice (šest od sedam, tj. k = 6), petice (k = 5), ..., nule (k = 0) iznosi

$p(k)={\frac {C_{k}^{7}\cdot C_{7-k}^{32}}{C_{7}^{39}}}.\qquad (1a)$

Uopšte, u igri loto m od n ove verovatnoće iznose

$p(k)={\frac {C_{k}^{m}\cdot C_{m-k}^{n-m}}{C_{m}^{n}}},\qquad (1b)$

gde je k broj pogodaka (0 ≤ k ≤ m). Primetimo da je zbir ovih verovatnoća jedan, jer je pogađanje 0, 1, ..., svih m izvučenih brojeva siguran događaj. Sa druge strane to možemo dokazati i pomoću Vandermontovog identiteta, naime

$\sum _{k=0}^{m}p(k)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {C_{k}^{m}\cdot C_{m-k}^{n}}{C_{m}^{n}}}={\frac {1}{C_{m}^{n}}}\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{m}C_{m-k}^{n-m}={\frac {C_{m}^{n}}{C_{m}^{n}}}=1.$

Ako je u igri loto 7 od 39 uključeno biranje dopunskog 8. broja iz istog skupa 1-39, sa dopunskom nagradom 6+1 za šest pogodaka od 7 redovnih brojeva i (sedmi) pogodak dopunskog (osmog) broja, tada se verovatnoća p(6) razlaže na dve verovatnoće p₊(6+1) i p₊(6). U prvom slučaju, nakon šestice iz redovnih 7 brojeva, izgledi za pogodak osmog broja od preostalih 32 su 1/32. U drugom slučaju, nakon šestice (od redovnih 7), šansa da promašimo osmi broj je 31/32. Otuda dodatne verovatnoće u igri 6+1:

$p_{+}(6+1)=p(6)\cdot {\frac {1}{32}},\ p_{+}(6)=p(6)\cdot {\frac {31}{32}}.\qquad (2a)$

Očigledno je p₊(6+1) + p₊(6) = p(6), što znači da i igra loto 7 od 39 sa dopunskim brojem takođe ima zbir verovatnoća jedan.

Uopšte, u igri loto m od n sa dopunskim m+1. brojem koji se dalje izvlači iz istog skupa brojeva 1-n, sa nagradom za m - 1 pogođenih od redovnih m brojeva plus pogođen dopunski broj, potrebno je verovatnoću p(m - 1) razložiti na dva sabirka: p₊(m-1, +1) i p₊(m-1,0). U prvom slučaju, nakon m - 1 pogodaka od m redovno izvučenih brojeva, izgledi za pogodak m+1-og broja od preostalih n - m su 1/(n-m). U drugom slučaju, nakon m - 1 pogodaka od m redovnih, izgledi za promašaj m+1-og broja su (n-m-1)/(n-m). Prema tome, verovatnoće u tako dodatoj igri za dopunski broj su

$p_{+}(m-1,+1)=p(m-1)\cdot {\frac {1}{n-m}},\ p_{+}(m-1,0)=p(m-1)\cdot {\frac {n-m-1}{n-m}}.\qquad (2b)$

Opet je očigledno p₊(m-1, +1) + p₊(m-1,0) = p(m-1), pa je i zbir svih ovakvih verovatnoća jedan.

To su bile verovatnoće prostih kombinacija. Na običnom listiću igrač lotoa 7 od 39 može birati po 7 brojeva više puta. Za razliku od toga, na sistemskom listiću igrač lotoa 7 od 39 bira jednom, ali više brojeva. Ako ima svih sedam pogodaka na sistemskom listiću sa izabranih s > 7 brojeva, može imati i više šestica, petica, itd. Slično, ako ima manji broj pogodaka, na sistemskom listiću može imati dodatnih još manjih pogodaka. Kada ima k od 7 pogodaka na sistemu sa s brojeva, igrač ima i 7 - k promašaja iz preostalih 39 - s brojeva. Prema tome, verovatnoća da na sistemskom listiću sa s brojeva igrač ima k pogodaka iznosi

$p_{s}(k)={\frac {C_{k}^{s}\cdot C_{7-k}^{39-s}}{C_{7}^{39}}}.\qquad (3a)$

Uopšte, kada na sistemskom listiću igre loto m od n biramo s brojeva, verovatnoća da pogodimo k iz izvučenih m je

$p_{s}(k)={\frac {C_{k}^{s}C_{m-k}^{n-s}}{C_{m}^{n}}}.\qquad (3b)$

Zbir svih verovatnoća (3a), kao i (3b) mora biti jedan, jer one predstavljaju potpun skup slučajnih događaja (kakav god da je sistem, igrač mora imati 0, 1, 2, ..., ili svih m = 7 pogodaka). Sa druge strane, lako je proveriti da je zbir ovih verovatnoća jedan pomoću Vandermontovog identiteta.