Mebijusova funkcija

Ne poistovećivati sa Mebijusova transformacija.

Klasična Mebijusova funkcija, u oznaci $\mu (n)$, je značajna multiplikativna funkcija u teoriji brojeva i kombinatorici. Dobila je ime po nemačkom matematičaru Augustu Fernandu Mebijusu koji je definisao 1832. godine.

Definicija

$\mu (n)$ je definisana za sve pozitivne cele brojeve n kojima dodeljuje jednu od vrednosti {-1, 0, 1}, u zavisnosti od faktorizacije broja n na proste činioce. Zadata je na sledeći način:

$\mu (n)={\begin{cases}1&{\mbox{kada je }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{kada }}n{\mbox{ nije deljivo potpunim kvadratom, }}k{\mbox{ je broj prostih činilaca}}\\0&{\mbox{inače }}\end{cases}}$

Drugim rečima,

• $\mu (n)=1$ ako je n pozitivan ceo broj koji nije deljiv potpunim kvadratom, i ima paran broj različitih prostih činilaca.
• $\mu (n)=-1$ ako je n pozitivan ceo broj nedeljiv potpunim kvadratom sa neparnim brojem različitih prostih činilaca.
• $\mu (n)=0$ ako je n deljivo potpunim kvadratom.

Ekvivalentan način da se to iskaže je da se definišu dve funkcije

ω(n), broj različitih prostih brojeva koji su delioci broja n i
Ω(n), broj prostih činilaca broja n, pri čemu se broje sva pojavljivanja. Jasno je da važi ω(n) ≤ Ω(n).

Onda je

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{ako je }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{ako je }}\;\omega (n)<\Omega (n).\end{cases}}$

Odavde sledi da je μ(1) = 1, pošto broj 1 ima paran broj, odnosno nula prostih činilaca. Vrednost μ(0) nije definisana.

Vrednosti Mebijusove funkcije za prvih 20 pozitivnih celih brojeva:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(n)	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0	-1	1	1	0	-1	0	-1	0

Na sledećoj slici je prikazano prvih 50 vrednosti Mebijusove funkcije:

Prvih 50 vrednosti funkcije

Spoljašnje veze

• Mebijusova funkcija na mathworld.wolfram.com (jezik: engleski)