Neodređeni integral
U matematičkoj analizi neodređeni integral neke funkcije jeste diferencijabilna funkcija čiji je izvod jednak originalnoj funkciji .[1][2] Proces pronalaženja rešenja neogređenog integrala naziva se integracija, i ona je suprotna od operacije diferenciranja, koja je proces nalaženja izvoda neke funkcije.
Teorijski uvod
[uredi | uredi izvor]Neka je proizvoljna primitivna funkcija funkcije na intervalu , neodređeni integral definiše se kao:Za primitivnu funkciju 𝐹(𝑥) funkcije 𝑓(𝑥) na intervalu 𝐼 važi:
Definicija
[uredi | uredi izvor]Za funkciju se kaže da je primitivna (prvobitna) funkcija funkcije definisane na istom intervalu, ako važe sledeći uslovi:
- Funkcija je neprekidna na intervalu
- Funkcija u svakoj unutrašnjoj tački intervala ima izvod, i pri tom je: .
Skup svih primitivnih funkcija funkcije na intervalu naziva se neodređeni integral funkcije na intervalu i obeležava sa , gde je podintegralna funkcija, a podintegralni izraz.
- Teorema 1
Ako je primitivna funkcija funkcije na intervalu , onda je i svaka funkcija
- , gde je c∈ proizvoljna konstanta, primitivna funkcija za na intervalu .
Dokaz.
Ako funkcija ima primitivnu funkciju na intervalu , onda na tom intervalu ima beskonačno mnogo primitivnih funkcija. Familija funkcija predstavlja skup svih primitivnih funkcija za funkciju na intervalu , gde je jedna njena primitivna funkcija na intervalu .
- Teorema 2
Neka su i primitivne funkcije za na intervalu , onda postoji realna konstanta s takva da važi , x∈
Dokaz. Definišimo funkciju − za x∈ . Funkcije i su neprekidne na intervalu ⇒ funkcija je neprekidna (kao razlika neprekidnih funkcija)
- i
su diferencijabilne u ⇒ funkcija je diferencijabilna u (kao razlika diferencijabilnih funkcija), i pri tom važi:
- − − −.
Kako je izvod funkcije jednak 0 u svakoj tački intervala ⇒ je konstantna funkcija na , odnosno:
- ⇒ − ,
te je , c∈ , x∈ .
- Teorema 3
Neka je funkcija neprekidna na intervalu i diferencijabilna u . Tada je : c∈ , x∈ .
Dokaz.
- c∈ , x∈
- Teorema 4
Neka funkcija ima primitivnu funkciju na intervalu . Tada u unutrašnjim tačkama intervala važi:.
Dokaz.
- .
- Teorema 5
Neka funkcije i imaju primitivne funkcije i , redom, na intervalu . Tada funkcija ima primitivnu funkciju na , i važi:
Dokaz
- i primitivne funkcije za i na intervalu ⇒ i su neprekidne na i diferencijabline na ⇒ Funkcija je neprekidna na intervalu i diferencijabilna na . Pri tom, važi:
⇒ funkcija ima primitivnu funkciju na .
- i ,
⇒ ,. Jednakost iz postavke teoreme će važiti ako važi skupovna jednakost:
- = ,
a ona očigledno važi jer .
- Teorema 6
Neka funkcija ima primitivnu funkciju na intervalu i neka je . Tada funkcija ima primitivnu funkciju na , i još ako je k≠0, važi: .
Dokaz.
- je primitivna funkcija funkcije na intervalu , što znači da je neprekidna na , diferencijabilna na unutrašnjosti intervala i važi: . Dakle, sledi da je i funkcija neprekidna i važi: , . ⇒ je primitivna fukncija funkcije na intervalu .
Neka je k≠0. Tada:
, ,
- , .
Jednakost iz postavke teoreme će važiti ako važi skupovna jednakost:
- =
Zaista,
- ⊆ jer je
- ⊆ jer je , k≠0.
Ako je k=0:
- , ,
- , .
⇒ nisu jednaki za k=0.
- Teorema 7.
Neka funkcija ima primitivnu fuknciju na intervalu . Tada je funkcija primitivna funkcija fukcije na , , i važi: , .
Dokaz.
- je primitivna funkcija funkcije na intervalu ⇒ ,
⇒ ⇒ je primitivna funkcija funkcije na posmatranom intervalu.
Ovo tvrđenje je korisno, jer olakšava rešavanje mnogih integrala. Primeri:
Metodi integracije
[uredi | uredi izvor]Nalaženje neodređenih integrala elementarnih funkcija je često mnogo teže nego nalaženje izvoda tih funkicja.
Zato postoje mnoge metode i načini za pronalaženje integrala, kao što su:
- Linearnost integrala
- Smena promenljive
- Metod parcijalne integracije
- Svođenje kvadratnog trinoma na kanonski oblik
- Metoda neodređenih koeficijenata
- Integracija pomoću rekurentnih formula
- Itegracija racionalnih funkcija
- Integracija trigonometrijskih funkcija
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals
(6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- M. Rašajski, B. Malešević, T. Lutovac, B. Mihailović, N. Cakić: Linearna algebra, Univerzitet u Beogradu - Elektrotehnički fakultet i Akademska misao, Beograd. ISBN: 978-86-7466-680-7
- Milan Merkle, Matematička analiza -teorija i hiljadu zadataka-za studente tehnike, treće izmenjeno i dopunjeno izdanje, Akademska misao 2015.
- Cvetković D., Lacković I., Merkle M., Radosavljević Z., Simić S., Vasić P., Matematika 1 – Algebra, IX izdanje, Akademska misao, Beograd, 2006.
- Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
- Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
- Mathematical Assistant on Web Arhivirano na sajtu Wayback Machine (1. maj 2020) — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
- Function Calculator from WIMS
- Integral at HyperPhysics
- Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
- Integral calculator at Symbolab
- The Antiderivative at MIT
- Introduction to Integrals at SparkNotes
- Antiderivatives at Harvy Mudd College