Неодређени интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Теоријски увод[уреди]

Дефиниција[уреди]

За функцију кажемо да је примитивна (првобитна) функција функције дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:

  1. Функција је непрекидна на интервалу
  2. Функција у свакој унутрашњој тачки интервала има извод, и при том је: .

Скуп свих примитивних функција функције на интервалу назива се неодређени интеграл функције на интервалу и обележава са , где је подинтегрална функција, а подинтегрални израз.


Теорема 1. Ако је примитивна функција функције на интервалу , онда ја и свака функција , где је c∈ произвољна константа, примитивна функција за на интервалу .
Доказ.


Ако функција има примитивну функцију на интервалу , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција представља скуп свих примитивних функција за функцију на интервалу , где је једна њена примитивна функција на интервалу .

Теорема 2. Нека су и примитивне функције за на интервалу , онда постоји реална константа с таква да важи , x∈

Доказ.
Дефинишимо функцију за x∈ .
Функције и су непрекидне на интервалу ⇒ функција је непрекидна (као разлика непрекидних функција)
и су диференцијабилне у ⇒ функција је диференцијабилна у (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи :
.
Како је извод функције једнак 0 у свакој тачки интервала је константна функција на , односно:
,
па је , c∈ , x∈ .


Теорема 3. Нека је функција непрекидна на интервалу и диференцијабилна у . Тада је : c∈ , x∈ .
Доказ.
c∈ , x∈

Теорема 4. Нека функција има примитивну функцију на интервалу . Тада у унутрашњим тачкама интервала важи:.
Доказ.
.

Теорема 5. Нека функције и имају примитивне функције и , редом, на интервалу . Тада функција има примитивну функцију на , и важи: .
Доказ.
и примитивне функције за и на интервалу и су непрекидне на и диференцијаблине на ⇒ Функција је непрекидна на интервалу и диференцијабилна на . При том, важи:
⇒ функција има примитивну функцију на .
и , ,.
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
= ,
а она очигледно важи јер .

Теорема 6. Нека функција има примитивну функцију на интервалу и нека је . Тада функција има примитивну функцију на , и још ако је k≠0, важи: .
Доказ.
је примитивна функција функције на интервалу , што значи да је непрекидна на , диференцијабилна на унутрашњости интервала и важи: . Дакле, следи да је и функција непрекидна и важи: , . ⇒ је примитивна фукнција функције на интервалу .
Нека је k≠0. Тада:
, ,
, .
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
=
Заиста,
јер је
јер је , k≠0.
Ако је k=0:
, ,
, .
⇒ нису једнаки за k=0.

Теорема 6. Нека функција има примитивну фукнцију на интервалу . Тада је функција примитивна функција фукције на , , и важи: , .
Доказ.
је примитивна функција функције на интервалу ,

је примитивна функција функције на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла.
Примери:



Парцијална интеграција[уреди]

Рекурзивне формуле[уреди]

Интеграција тригонометријских функција[уреди]




Литература[уреди]

  • Снежана Живковић Златановић: Математичка анализа 1 и 2, Природно−математички факултет, Ниш, 2017.

Спољашње везе[уреди]