Неодређени интеграл
Теоријски увод[уреди | уреди извор]
Дефиниција[уреди | уреди извор]
За функцију кажемо да је примитивна (првобитна) функција функције дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:
- Функција је непрекидна на интервалу
- Функција у свакој унутрашњој тачки интервала има извод, и при том је: .
Скуп свих примитивних функција функције на интервалу назива се неодређени интеграл функције на интервалу и обележава са , где је подинтегрална функција, а подинтегрални израз.
Теорема 1.
Ако је примитивна функција функције на интервалу , онда ја и свака функција
, где је c∈ произвољна константа, примитивна функција за на интервалу .
Доказ.
Ако функција има примитивну функцију на интервалу , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција представља скуп свих примитивних функција за функцију на интервалу , где је једна њена примитивна функција на интервалу .
Теорема 2.
Нека су и примитивне функције за на интервалу , онда постоји реална константа с таква да важи , x∈
Доказ.
Дефинишимо функцију − за x∈ .
Функције и су непрекидне на интервалу ⇒ функција је непрекидна (као разлика непрекидних функција)
и су диференцијабилне у ⇒ функција је диференцијабилна у (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи :
− − −.
Како је извод функције једнак 0 у свакој тачки интервала ⇒ је константна функција на , односно:
⇒ − ,
па је , c∈ , x∈ .
Теорема 3.
Нека је функција непрекидна на интервалу и диференцијабилна у . Тада је : c∈ , x∈ .
Доказ.
c∈ , x∈
Теорема 4.
Нека функција има примитивну функцију на интервалу . Тада у унутрашњим тачкама интервала важи:.
Доказ.
.
Теорема 5.
Нека функције и имају примитивне функције и , редом, на интервалу . Тада функција има примитивну функцију на , и важи:
.
Доказ.
и примитивне функције за и на интервалу ⇒ и су непрекидне на и диференцијаблине на ⇒ Функција је непрекидна на интервалу и диференцијабилна на . При том, важи:
⇒ функција има примитивну функцију на .
и ,
⇒ ,.
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
= ,
а она очигледно важи јер .
Теорема 6.
Нека функција има примитивну функцију на интервалу и нека је . Тада функција има примитивну функцију на , и још ако је k≠0, важи: .
Доказ.
је примитивна функција функције на интервалу , што значи да је непрекидна на , диференцијабилна на унутрашњости интервала и важи: . Дакле, следи да је и функција непрекидна и важи: , . ⇒ је примитивна фукнција функције на интервалу .
Нека је k≠0. Тада:
, ,
, .
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
=
Заиста,
⊆ јер је
⊆ јер је , k≠0.
Ако је k=0:
, ,
, .
⇒ нису једнаки за k=0.
Теорема 6.
Нека функција има примитивну фукнцију на интервалу . Тада је функција примитивна функција фукције на , , и важи: , .
Доказ.
је примитивна функција функције на интервалу ⇒ ,
⇒
⇒ је примитивна функција функције на посматраном интервалу.
Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла.
Примери:
Парцијална интеграција[уреди | уреди извор]
Рекурзивне формуле[уреди | уреди извор]
Интеграција тригонометријских функција[уреди | уреди извор]
Литература[уреди | уреди извор]
- Снежана Живковић Златановић: Математичка анализа 1 и 2, Природно−математички факултет, Ниш, 2017.
Спољашње везе[уреди | уреди извор]
- http:://nasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2106/KnjigaOdvojeno.pdf[мртва веза]
- http://wpresspmf.pmf.ni.ac.rs/?page_id=1418&idp=1551[мртва веза]