Problem sa pšenicom i šahovskom tablom

Standardna tabla za šah

Problem sa pšenicom i šahovskom tablom (nekada se koristi pirinač umesto pšenice) je matematički problem.

Problem se može rešiti sabiranjem. Sa 64 kvadrata na šahovskoj tabli, ako se broj zrna duplira na svakom sledećem polju, ukupan broj zrna na poslednjem polju se računa kao: 1 + 2 + 4 + 8... i tako do 64. polja. Ukupan broj zrna na poslednjem polju je 18.446.744.073.709.551.615.

Ovaj problem se često koristi kako bi se objasnilo stepenovanje.

Rešenje

Jednostavno rešenje ovog problema je samo ručno duplirati svaki korak:

$T_{64}=1+2+4+\cdots +9,223,372,036,854,775,808=18,446,744,073,709,551,615$

gde je $T_{64}$ ukupan broj zrna.

Rešenje se takođe može dobiti stepenovanjem:

$T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}$

i predstaviti jednostavnije:

$\sum _{i=0}^{63}2^{i}.\,$

Takođe se može rešiti:

$T_{64}=2^{64}-1.\,$

Za šta je dokaz:

$s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.$

Ili dupliranjem brojem 2:

$2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.$

Priča

Problem sa pšenicom i šahovskom tablom se pojavljuje u pričama o nastanku šaha. Prvi put je zapisan u Šahnameu, epskoj poemi napisanoj u period između 977. i 1010 naše ere. U mnogim verzijama se pominje izumitelj šaha koji zahteva od vladara da mu da pšenicu, ali pomoću ovog problema gde broj zrna kreće od 1 i duplira se na svakom polju. Vladar mu se smeje i kaže mu da je to mala cena za tako bitan izum, ali kasnije mu javljaju da je to više pšenice nego što ima cela država. Ovde se razlikuju priče, jer u nekim izumitelj počinje da radi kao savetnik na dvoru, dok je u nekim pogubljen.

Druga polovina šahovske table

Ilustracija druge polovine šahovske table sa SI prefiksima

Druga polovina šahovske table je fraza koju je izmislio Rej Kurzveli, a odnosi se na period gde faktor eksponencionalnog rasta počinje da ima veliki ekonomski uticaj.

Dok je broj zrna na prvoj polovini table veliki, broj na drugoj polovini je mnogo (2³² > 4 milijardi puta) veći.

Broj zrna na prvoj polovini šahovske table je 1 + 2 + 4 + 8... + 2.147.483.648, što je ukupno 4.294.967.295 (2³² − 1) zrna, ili oko 100,000 kilograma pirinča (uzimajući da je 25 mg masa jednog zrna). U Indiji se godišnje proizvede 1.200.000 puta više.

Broj zrna na drugoj polovini table je 2³² + 2³³ + 2³⁴ ... + 2⁶³, ukupno 2⁶⁴ − 2³² zrna pirinča. Samo prvo polje druge polovine šahovske table ima više zrna nego cela prethodna polovina.

Na 64. polju šahovske ima 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 zrna pirinča.

Na celoj šahovskoj tabli ima 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 zrna pirinča, teških 461.168.602.000 tona, što bi bilo brdo pirinča veličine Mont Everesta. Ovo je oko 1.000 puta više od celokupne globalne proizvodnje pirinča 2010. godine (464.000.000 tona).

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W., "Wheat and Chessboard Problem", MathWorld.
• One telling of the fable
• Salt and chessboard problem - Verzija problema sa zrnima soli.