Степеновање

Из Википедије, слободне енциклопедије
За друга значења, погледајте Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису ab. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 57 се чита „пет на седми (степен)“.

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

Особине степеновања[уреди]

Степеновање има виши приоритет од множења. abc значи (ab)c, а не a(bc).

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:23 = 8 ≠ 32 = 9), нити асоцијативно .

  1. ac · bc = (a · b)c
  2. ab · ac = ab + c
  3. ab : ac = abc (за a ≠ 0)
  4. (ab)c = ab · c

Последица особине 3 су

  • a0 = abb = ab : ab = 1
  • ab = a0 − b = 1 / ab

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима[уреди]

Рационални експонент[уреди]

По дефиницији,

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни за парно q и негативно a.

Ирационални експонент[уреди]

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност ab дефинисана само за a ∈ ℝ+, као гранична вредност

степена ap / q са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = aπ, тада је a3,141 < x < a3,142.

Степеновање комплексних бројева[уреди]

За више информација погледајте: Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику (видети Ојлерову формулу) то важи

.

Степеновање матрица[уреди]

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције[уреди]

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију (), а други експоненцијалну функцију ().

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ().

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ().

Види још[уреди]