Степеновање

За друга значења, погледајте Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису a^b. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 5⁷ се чита „пет на седми (степен)“.

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.$$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.$

Особине степеновања

Степеновање има виши приоритет од множења. a^bc значи (a^b)^c, а не a^(bc).

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:2³ = 8 ≠ 3² = 9), нити асоцијативно $a^{(b^{c})}\neq {(a^{b})}^{c}$$a^{(b^{c})}\neq {(a^{b})}^{c}$.

1. a^c · b^c = (a · b)^c
2. a^b · a^c = a^{b + c}
3. a^b : a^c = a^{b − c} (за a ≠ 0)
4. (a^b)^c = a^{b · c}

Последица особине 3 су

• a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
• a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима

Рационални експонент

По дефиницији,

$a^{1/b}={\sqrt[{b}]{a}}$$a^{1/b}={\sqrt[{b}]{a}}$

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}$$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}$

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни $a^{p/q}$$a^{p/q}$ за парно q и негативно a.

Ирационални експонент

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност a^b дефинисана само за a ∈ ℝ⁺, као гранична вредност

$\lim _{p/q\to b}a^{p/q}$$\lim _{p/q\to b}a^{p/q}$

степена a^{p / q} са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = a^π, тада је a^3,141 < x < a^3,142.

Степеновање комплексних бројева

За више информација погледајте: Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику $z=\rho e^{i\phi }$$z=\rho e^{i\phi }$ (видети Ојлерову формулу) то важи

$z^{x}=(\rho e^{i\phi })^{x}=\rho ^{x}e^{ix\phi }$$z^{x}=(\rho e^{i\phi })^{x}=\rho ^{x}e^{ix\phi }$.

Степеновање матрица

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију ($y=x^{k}$$y=x^{k}$), а други експоненцијалну функцију ($y=k^{x}$$y=k^{x}$).

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ($y={\sqrt[{k}]{x}}$$y={\sqrt[{k}]{x}}$).

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ($y=\log _{k}x$$y=\log _{k}x$).

Види још

• е – основа природног логаритма
• Степена функција
• Експоненцијална функција
• Корен
• Логаритам