Степеновање

Графикони y = b^x за разне базе b:   база 10,   база e,   база 2,   база 1/2. Свака крива пролази кроз тачку (0, 1), јер је сваки ненулти број подигнут у степен 0 једнак 1. При x = 1, вредност y једнака је бази, јер је сваки број подигнут у степен 1 сам број.

За друге употребе, погледајте Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису a^b. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број. На пример, 5⁷ се чита „пет на седми (степен)“.name=":1" />

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.$

Експонент се обично приказује као суперскрипт десно од основе. У том случају, bⁿ се назива „b подигнуто у n-ти степен“, „b подигнуто на степен n“, „n-ти степен од b“, „b на n-том степену“, или кратко као „b на n-ти“.

За један важи b¹ = b, и за било који пар позитивних целих бројева m и n важи bⁿ ⋅ b^m = b^n+m. Да би се ово својство проширило на целобројне експоненте који нису позитивни, b⁰ је дефинисано као 1, а b⁻ⁿ (при чему је n позитивни цео број и b није нула) дефинисано је као 1/bⁿ. Конкретно, b⁻¹ је једнако 1/b, реципрочна вредност од b.

Дефиниција експоненцијације се може проширити тако да се дозволи било који реални или комплексни експонент. Експоненцирање целобројним експонентима такође се може дефинисати за широк спектар алгебарских структура, укључујући матрице.

Експоненцијација се интензивно користи у многим областима, укључујући економију, биологију, хемију, физику и рачунарство, са апликацијама као што су сложене камате, раст популације, кинетика хемијских реакција, понашање таласа и асиметрична криптографија.

Историја записа

Израз степен (лат. potentia, potestas, dignitas) није најнесрећнији превод старогрчког δύναμις (dúnamis, овде: „појачање“) које је грчки математичар Еуклид користио за квадрат линије, следећи Хипократа са Хиоса. Архимед је открио и доказао закон експонената, 10^a ⋅ 10^b = 10^a+b, неопходан за манипулисање степенима од 10. У 9. веку персијски математичар Мухамед ел Хорезми користио је изразе مَال (māl, „посед“, „имање“) за квадрат - муслимани, „попут већине математичара тих и ранијих времена, сматрали су на квадрат број као приказ подручја, посебно земљишта, те отуда и својства“ - и كَعْبَة (kaʿbah, „коцка“) за куб, коју су касније исламски математичари у математичкој нотацији представљали као слова mīm (m) и kāf (k), респективно, до 15. века, као што се види у делу Абу ел-Хасана ибн Али ел-Каласада.

Крајем 16. века, Јост Бурги је за експоненте користио римске бројеве.

Особине степеновања

Степеновање има виши приоритет од множења. a^bc значи a^(bc), а не (a^b)^c.

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:2³ = 8 ≠ 3² = 9), нити асоцијативно $a^{(b^{c})}\neq {(a^{b})}^{c}$.

1. a^c · b^c = (a · b)^c
2. a^b · a^c = a^{b + c}
3. a^b : a^c = a^{b − c} (за a ≠ 0)
4. (a^b)^c = a^{b · c}

Последица особине 3 су

• a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
• a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима

Рационални експонент

По дефиницији,

$a^{1/b}={\sqrt[{b}]{a}}$

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}$

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни $a^{p/q}$ за парно q и негативно a.

Ирационални експонент

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност a^b дефинисана само за a ∈ ℝ⁺, као гранична вредност

$\lim _{p/q\to b}a^{p/q}$

степена a^{p / q} са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = a^π, тада је a^3,141 < x < a^3,142.

Степеновање комплексних бројева

Детаљније: Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику $z=\rho e^{i\phi }$ (видети Ојлерову формулу) то важи

$z^{x}=(\rho e^{i\phi })^{x}=\rho ^{x}e^{ix\phi }$.

Степеновање матрица

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију ($y=x^{k}$), а други експоненцијалну функцију ($y=k^{x}$).

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ($y={\sqrt[{k}]{x}}$).

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ($y=\log _{k}x$).

Види још

• е – основа природног логаритма
• Степена функција
• Експоненцијална функција
• Корен
• Логаритам

Спољашње везе

• Laws of Exponents with derivation and examples