Степеновање
Степеновање је математичка бинарна операција, у запису ab. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 57 се чита „пет на седми (степен)“.
Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:
Садржај
Особине степеновања[уреди]
Степеновање има виши приоритет од множења. abc значи a(bc), а не (ab)c.
За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:23 = 8 ≠ 32 = 9), нити асоцијативно .
- ac · bc = (a · b)c
- ab · ac = ab + c
- ab : ac = ab − c (за a ≠ 0)
- (ab)c = ab · c
Последица особине 3 су
- a0 = ab − b = ab : ab = 1
- a−b = a0 − b = 1 / ab
чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.
Степеновање са нецелобројним експонентима[уреди]
Рационални експонент[уреди]
По дефиницији,
Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је
Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни за парно q и негативно a.
Ирационални експонент[уреди]
Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност ab дефинисана само за a ∈ ℝ+, као гранична вредност
степена ap / q са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.
Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = aπ, тада је a3,141 < x < a3,142.
Степеновање комплексних бројева[уреди]
Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику (видети Ојлерову формулу) то важи
- .
Степеновање матрица[уреди]
Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.
Инверзне функције[уреди]
Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију (), а други експоненцијалну функцију ().
Инверзна функција степеној функцији је корена функција ().
Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ().
Види још[уреди]
- е – основа природног логаритма
- Степена функција
- Експоненцијална функција
- Корен
- Логаритам