Степеновање

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Графикони y = bx за разне базе b:   база 10,   база e,   база 2,   база 1/2. Свака крива пролази кроз тачку (0, 1), јер је сваки ненулти број подигнут у степен 0 једнак 1. При x = 1, вредност y једнака је бази, јер је сваки број подигнут у степен 1 сам број.
За друге употребе, погледајте Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису ab. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број.[1][2] На пример, 57 се чита „пет на седми (степен)“.name=":1" />

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

Експонент се обично приказује као суперскрипт десно од основе. У том случају, bn се назива „b подигнуто у n-ти степен“, „b подигнуто на степен n“,[1]n-ти степен од b“, „b на n-том степену“,[3] или кратко као „b на n-ти“.

За један важи b1 = b, и за било који пар позитивних целих бројева m и n важи bnbm = bn+m. Да би се ово својство проширило на целобројне експоненте који нису позитивни, b0 је дефинисано као 1, а bn (при чему је n позитивни цео број и b није нула) дефинисано је као 1/bn. Конкретно, b−1 је једнако 1/b, реципрочна вредност од b.

Дефиниција експоненцијације се може проширити тако да се дозволи било који реални или комплексни експонент. Експоненцирање целобројним експонентима такође се може дефинисати за широк спектар алгебарских структура, укључујући матрице.

Експоненцијација се интензивно користи у многим областима, укључујући економију, биологију, хемију, физику и рачунарство, са апликацијама као што су сложене камате, раст популације, кинетика хемијских реакција, понашање таласа и асиметрична криптографија.

Историја записа[уреди | уреди извор]

Израз степен (лат. potentia, potestas, dignitas) није најнесрећнији превод[4][5] старогрчког δύναμις (dúnamis, овде: „појачање“[4]) које је грчки математичар Еуклид користио за квадрат линије,[6] следећи Хипократа са Хиоса.[7] Архимед је открио и доказао закон експонената, 10a ⋅ 10b = 10a+b, неопходан за манипулисање степенима од 10.[8] У 9. веку персијски математичар Мухамед ел Хорезми користио је изразе مَال (māl, „посед“, „имање“) за квадрат - муслимани, „попут већине математичара тих и ранијих времена, сматрали су на квадрат број као приказ подручја, посебно земљишта, те отуда и својства“[9] - и كَعْبَة (kaʿbah, „коцка“) за куб, коју су касније исламски математичари у математичкој нотацији представљали као слова mīm (m) и kāf (k), респективно, до 15. века, као што се види у делу Абу ел-Хасана ибн Али ел-Каласада.[10]

Крајем 16. века, Јост Бурги је за експоненте користио римске бројеве.[11]

Особине степеновања[уреди | уреди извор]

Степеновање има виши приоритет од множења. abc значи a(bc), а не (ab)c.

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:23 = 8 ≠ 32 = 9), нити асоцијативно .

  1. ac · bc = (a · b)c
  2. ab · ac = ab + c
  3. ab : ac = abc (за a ≠ 0)
  4. (ab)c = ab · c

Последица особине 3 су

  • a0 = abb = ab : ab = 1
  • ab = a0 − b = 1 / ab

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима[уреди | уреди извор]

Рационални експонент[уреди | уреди извор]

По дефиницији,

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни за парно q и негативно a.

Ирационални експонент[уреди | уреди извор]

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност ab дефинисана само за a ∈ ℝ+, као гранична вредност

степена ap / q са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = aπ, тада је a3,141 < x < a3,142.

Степеновање комплексних бројева[уреди | уреди извор]

Детаљније: Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику (видети Ојлерову формулу) то важи

.

Степеновање матрица[уреди | уреди извор]

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције[уреди | уреди извор]

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију (), а други експоненцијалну функцију ().

Инверзна функција степеној функцији је корена функција ().

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција ().

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. 1,0 1,1 „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-01. Приступљено 2020-08-27. 
  2. ^ Nykamp, Duane. „Basic rules for exponentiation”. Math Insight. Приступљено 27. 8. 2020. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Power”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-27. 
  4. 4,0 4,1 Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1. Graduate Studies in Mathematics. 165 (3rd изд.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 130, fn. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9. 
  5. ^ Szabó, Árpád (1978). The Beginnings of Greek Mathematics. Synthese Historical Library. 17. Превод: A.M. Ungar. Dordrecht: D. Reidel. стр. 37. ISBN 90-277-0819-3. 
  6. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Etymology of some common mathematical terms”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
  7. ^ Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics (6th изд.). London: Macmillan. стр. 38. 
  8. ^ For further analysis see The Sand Reckoner.
  9. ^ Quinion, Michael. „Zenzizenzizenzic”. World Wide Words. Приступљено 2020-04-16. 
  10. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
  11. ^ Cajori, Florian (1928). A History of Mathematical Notations. 1. London: Open Court Publishing Company. стр. 344. 

Спољашње везе[уреди | уреди извор]