Степеновање

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
Друга значења су пописана у чланку Степен (вишезначна одредница).

Степеновање је математичка бинарна операција, у запису ab. У овом запису a се назива основа, а b експонент. Чита се „a на b-ти степен“ или краће „a на b“, где је a кардинални, а b редни (ординални) број; на пример, 57 се чита „пет на седми (степен)“.

Ако је n ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом n пута:

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.

Особине степеновања[уреди]

Степеновање има виши приоритет од множења. abc значи a(bc), а не (ab)c.

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно (пример:23 = 8 ≠ 32 = 9), нити асоцијативно a^{(b^c)} \ne {(a^b)}^c.

  1. ac · bc = (a · b)c
  2. ab · ac = ab + c
  3. ab : ac = abc (за a ≠ 0)
  4. (ab)c = ab · c

Последица особине 3 су

  • a0 = abb = ab : ab = 1
  • ab = a0 − b = 1 / ab

чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је природан (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки целобројни експонент.

Степеновање са нецелобројним експонентима[уреди]

Рационални експонент[уреди]

По дефиницији,

a^{1/b} = \sqrt[b]{a}

Нека је експонент b ∈ ℚ рационалан број. Тада се може написати b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, при чему је

a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p

Како парни коренови негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни a^{p/q} за парно q и негативно a.

Ирационални експонент[уреди]

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број. Тада је вредност ab дефинисана само за a ∈ ℝ+, као гранична вредност

\lim_{p/q\to b}a^{p/q}

степена ap / q са рационалним експонентима p / q, који теже ка датом експоненту b.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је x = aπ, тада је a3,141 < x < a3,142.

Степеновање комплексних бројева[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Комплексан број

Како се сваки комплексан број z ∈ ℂ може записати у облику z = \rho e^{i \phi} (видети Ојлерову формулу) то важи

z^x = (\rho e^{i \phi})^x = \rho ^ x e^{i x \phi}.

Степеновање матрица[уреди]

Степеновање матрица идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

Инверзне функције[уреди]

Из степеновања се могу извести две функције, у зависности од тога да ли је независна променљива основа или експонент. Први случај даје степену функцију (y = x^k), а други експоненцијалну функцију (y = k^x).

Инверзна функција степеној функцији је корена функција (y = \sqrt[k]{x}).

Инверзна функција експоненцијалне функције је логаритамска функција (y = \log_k x).

Види још[уреди]