Ред (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ред је збир математичких објеката a_i тј. a_1+a_2+...+a_n+....

Објекти a_1,a_2,...,a_n,..., који се називају чланови реда, могу означавати бројеве, или функције, или векторе, или матрице, итд. Већ према томе шта су му чланови, ред може бити нумерички ред, функционални ред, ред вектора, ред матрице. Уместо наведеног, развијеног записа реда, често се наводи скраћени запис \sum_{k=1}^\infty a_k, или, понекад, још краће \sum a_k. За ред кажемо да је конвергентан, ако постоји коначна гранична вредност \lim_{n\to\infty}S_n=S, где је S_n=a_1+a_2+...+a_n. S се назива сума реда а S_n n-та парцијална сума реда. Ако ред није конвергентан, онда кажемо да је дивергентан. Ред може имати и облик

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k=...+a_{-n}+...+a_{-1}+a_0+a_1+...+a_n+..., (нпр. Лоранов ред) али и облик
\sum_{i,j=1}^\infty a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+...+a_{1n}+...)+(a_{21}+a_{22}+...+a_{2n}+...)+...+(a_{n1}+a_{n2}+...+a_{nn}+...),

Неки типови редова[уреди]

  • Геометријски ред је ред код кога се узастопни чланови добијају множењем претходних константним бројем. На пример:
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
У општем случају, геометријски ред
\sum_{n=0}^\infty z^n
конвергира акко |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
Хармонијски ред дивергира.
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • Ред
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
конвергира ако r > 1 а дивергира за r ≤ 1, што се може показати интегралним критеријумом за конвергенцију редова. Као функција од r, сума овог реда је Риманова зета функција.
\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
конвергира ако низ bn конвергира лимесу L када n тежи бесконачности. Тада је вредност реда b1L.

Апсолутна конвергенција[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак апсолутна конвергенција

За ред

\sum_{n=0}^\infty a_n

се каже да апсолутно конвергира ако ред апсолутних вредности

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

конвергира. У овом случају, почетни ред, и сва његова преуређења, конвергирају, и конвергирају ка истој суми.

По Римановој теореми о редовима, ако ред условно конвергира, увек може да се нађе преуређење чланова реда тако да преуређени ред дивергира. Штавише, ако су an реални, и S је било који реалан број, може се наћи преуређење које ће да конвергира ка S.


Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Ред (математика)