Крамерово правило

Из Википедије, слободне енциклопедије

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Елементарна формулација[уреди]

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

где је квадратна матрица инвертибилна а вектор је вектор колоне променљивих: .

Теорема онда тврди да:

где је матрица која се добија заменом i-те колоне из вектором колоне . Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је да представи а нотација се користи да представи . Стога се једначина (1) може компактније записати као

Апстрактна формулација[уреди]

Нека је R комутативни прстен, а A n×n матрица са коефицијентима из R. Онда

где Adj(A) означава адјунговану матрицу матрице A, det(A) је детерминанта, а I је јединична матрица.

Пример[уреди]

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

и
,

што се може записати у матричном облику

x и y се могу наћи Крамеровим правилом:

и


Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

,
и
,

што се може записати у матричном облику

x, y и z се могу наћи на следећи начин:

,   ,   and  

Примене у диференцијалној геометрији[уреди]

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине и . Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо и .

Налажење једначине за је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.

Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:

Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

Сличне формуле се могу извести за , , .

Примене у алгебри[уреди]

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.

Спољашње везе[уреди]