Крамерово правило

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Елементарна формулација

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

$Ax=c\,$

где је квадратна матрица $A$ инвертибилна а вектор $x$ је вектор колоне променљивих: $(x_{i})$.

Теорема онда тврди да:

$x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$

$(1)\,$

где је $A_{i}$ матрица која се добија заменом i-те колоне из $A$ вектором колоне $c$. Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је $\Delta$ да представи $\det(A)$ а нотација $\Delta _{i}$ се користи да представи $\det(A_{i})$. Стога се једначина (1) може компактније записати као

$x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,$

Апстрактна формулација

Нека је R комутативни прстен, а A n×n матрица са коефицијентима из R. Онда

$\mathrm {Adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,$

где Adj(A) означава адјунговану матрицу матрице A, det(A) је детерминанта, а I је јединична матрица.

Пример

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

$ax+by={\color {red}e}\,$ и

$cx+dy={\color {red}f}\,$,

што се може записати у матричном облику

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}$

x и y се могу наћи Крамеровим правилом:

$x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}$

и

$y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}$

Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

$ax+by+cz={\color {red}j}\,$,

$dx+ey+fz={\color {red}k}\,$ и

$gx+hy+iz={\color {red}l}\,$,

што се може записати у матричном облику

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}$

x, y и z се могу наћи на следећи начин:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$,   $y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$,   and   $z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

Примене у диференцијалној геометрији

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине $F(x,y,u,v)=0\,$ и $G(x,y,u,v)=0\,$. Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо $x=X(u,v)\,$ и $y=Y(u,v)\,$.

Налажење једначине за $\partial x/\partial u$ је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

$dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

$dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

$dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

$dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

Сличне формуле се могу извести за ${\frac {\partial x}{\partial v}}$, ${\frac {\partial y}{\partial u}}$, ${\frac {\partial y}{\partial v}}$.

Примене у алгебри

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.