Оса-угао ротација

Из Википедије, слободне енциклопедије
Jump to navigation Jump to search
Оса-угао вектор θ = θ e где је e јединични вектор помножен углом θ.

У математици, оса-угао представљање ротације параметризује ротацију у тродимензионалном Еуклидовом простору са три величине: Јединичним вектором e (који одређује правац осе ротације) и углом θ (који описује интензитет ротације око осе). Потребне су само две вредности (не три) да би се дефинисао јединични вектор e зато што му је интензитет константан. Скаларни производ угла θ и јединичног вектора e је оса-угао вектор.

Сам по себи вектор не врши ротацију него се користи за конструисање трансформације које одговара ротацији. Ротација се одиграва у складу са правилом десне руке. Оса ротације се понекад назива и Ојлерова оса.

Ово је само један од начина формализације ротације у тродимензиалном простору. Основа за оса-угао представљање је Ојлерова теорема ротације која каже да ротација или секвенца ротација чврстог тела у тродимензионалном простору еквивалентна једној ротацији око фиксене осе.


Вектор ротације[уреди]

Оса-угао представљање је еквивалентно сажетиом формом вектор ротације који се такође назива и Ојлеров вектор. У овом случају и оса и угао ротације су представљени вектором чији је правац паралелан са осом ротације а интензитет одговара углу θ.

Користи се за експоненциајлне и логаритамске функције укључене у овај облик представљања ротације.

Пример[уреди]

Рецимо да стојимо и да смо изабрали да је смер вектора гравитације негативан смер z осе. Тада, ако се окренемо на лево, ротираћемо се за π2 или 90 степени око z осе. Посматрајући оса-угао предстваљање као уређени пар:

Овај пример може бити приказан и као вектор ротације интензитета π2 усмереног у z правцу,

Употреба[уреди]

Оса-угао представљање је погодно за опис динамике чврстог тела. Такође се користи за опис ротације као и за кенверзију из различитих представљања динамике кретања чврстог тела.

Када се чврсто тело ротира око фиксне осе, тада је оса константна, а угао се мења у зависности од времена.

Ротирање вектора[уреди]

Родригезова формула ротације[1] је ефикасан алгоритам за ротацију Еуклидовог вектора, задату са осом ротације и углом. Другим речима Родригезова формула даје алгоритам за израчунавање експоненцијалне функције од so(3) до SO(3) без рачунања експоненцијалне функције целе матрице.

Ако је v вектор у 3 и e је јединични вектор који описује осу ротације око које v ротиран за угао θ Родригезова формула за добијање ротираног вектора је:

За ротацију једног вектора може бити ефикасније него пребацивање e и θ у матрицу ротације да би се вектор ротирао.

Однос са осталим облицима представљања ротације[уреди]

Постоји неколико начина представљања ротације. Корисно је разумети у каквој су међусобној вези, и како пребацити иѕ једног представљања у друго. Овде је јединичнни вектор означен са ω уместо e

Експоненцијална функција из so(3) у SO(3)[уреди]

Експоненцијална фнкција трансформише из оса-уга представљања ротације у матрицу ротације.

Користећи Тејлорову формулу добијамо приближну релацију два представљања. Дати једиинични вектор ω(3) = ℝ3 представља осу ротације и угао θ ∈ ℝ, еквивалентна матрица ротације R је као што следи: где је K векторски производ матрице ω.

K v = ω × v за све векторе v ∈ ℝ3,

Зато што је K косо-симетрична и сума квадрата изнад дијагонале је 1, карактеристични полином P(t) од K је P(t) = det(Kt I) = −(t3 + t). Пошто је по Hamilton-Cayley theorem, P(K) = 0, следи

K3 = –K .

И као резултат, K4 = –K2, K5 = K, K6 = K2, K7 = –K .

Овај патерн се понавља бесконачно и пошто су сви високи степени K изражени као K2. Из претходне једначине следи:

а то је,


Због постојања поменуте експоненцијалне функције, јединични вектор ω представља осу ротације, а угао θ се понекад назива експоненцијална координата матрице ротације R.

Логаритамска функција из SO(3) у so(3)[уреди]

Нека је K матрица 3x3 која утиче на векторски производ са осом ротације ω: K(v) = ω × v за све векторе v који следе.

Да би се добила оса-угао форма ротирања, израчунавамо угао из матрице ротације

и то користимо да бисмо пронашли нормализовану осу,

Потребно је напоменнути да је логаритам матрице ротације R

Изузетак је када R има sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je θ =  Frobenius норма логаритма је : Дате матрице ротација A и B,

је растојање у тродимензионалном простору између матрица ротације.

За мале ротације претходна рачуница за θ може биити нумерички непрецизна пошто извод arccos иде ка бесконачности како θ → 0. У том случају облици без осе ће обезбедити бољу информацију о θ пошто је за мале углове RI+ θ K. (то је зато што су то прва два члана у Тејлоровом реду за exp(θ K).)

Ова формулација такође има проблема када је θ = , где услови изван осе не дају информацију о оси ротације (која је вишесмислено дефинисана). У таковом случају потребно је приспитати претходну формули.

У θ=π, имамо

и нека

тако да је диагонална вредност од B квадрат елемената ω и знак може бити одређен из знакова ван дијагонале од  B.

Кватерниони[уреди]

Следећи израз трансформише оса-угао координате у версоре (јединичне кватернионе).


Дати версор представљен са својим скаларом s и вектором x, оса-угао вредности могу бити нађене следећом формулом:

Нумерички стабилнија метода користи атан2 функцију:

где |x| је Еуклидова норма вектора (3) x.

Референце[уреди]

  1. ^ Садржи уређену тројку за представљање ротационе групе. За више димензионално представљање, погледати Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). „A compact formula for rotations as spin matrix polynomials”. SIGMA. 10: 084. doi:10.3842/SIGMA.2014.084.