Питагорино дрво
Питагорино дрво је равански фрактал конструисан помоћу квадрата. Добио је име по Питагори зато што свака тројка суседних квадрата својим заједничким теменима одређује правоугли троугао, у облику који се традиционално користи за приказ Питагорине теореме.
![]() |
Ако је страница првог квадрата дужине 1, цело Питагорино дрво може стати у правоугаоник величине 6×4. Ситнији детаљи дрвета подсећају на Левијеву Ц криву.
Фрактал је први конструисао холандски математичар Алберт Босман (хол. Albert E. Bosman) 1942. године[1][2].
Конструкција
[уреди | уреди извор]Конструкција Питагориног дрвета почиње квадратом. Над њим се конструишу два мања квадрата, са коефицијентом сличности ½√2, тако да сваки квадрат има по једно заједничко теме са преостала два. Исто се понавља рекурзивно над два мања квадрата, ad infinitum. Следеће илустрације приказују првих неколико итерација у поступку конструкције.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ниво 0 | Ниво 1 | Ниво 2 | Ниво 3 |
Површина
[уреди | уреди извор]n-та итерација у конструкцији додаје 2n квадрата површине (½√2)2n, са укупном површином једнаком 1. Зато се чини да се површина дрвета бесконачно увећава када n→∞. Ипак, како се неки од квадрата преклапају почевши од пете итерације, дрво има коначну површину, с обзиром да је смештено у правоугаоник 6×4.
Лако је показати да за површину A Питагориног дрвета важи 5 < A < 18, а уз додатни напор она се може и прецизније ограничити. Међутим, сама вредност A је непозната.
Варијације
[уреди | уреди извор]Ако се уместо два иста квадрата, у новом кораку они конструишу тако да је један већи од другог (односно да правоугли троугао одређен теменима три суседна квадрата не буде једнакокраки), резултат ће бити „Питагорино дрво на ветру“.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ниво 0 | Ниво 1 | Ниво 2 | Ниво 5 |
Извори
[уреди | уреди извор]- ^ „De ware geschiedenis van de BOOM VAN PYTHAGORAS”. www.arsetmathesis.nl. Архивирано из оригинала 18. 01. 2009. г. Приступљено 8. 7. 2009.
- ^ „De boom van Pythagoras (A.E. Bosman)”. www.wisfaq.nl. Приступљено 8. 7. 2009.
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]![]() | Овај чланак користи спољашње везе на начин који није по Википедијиним правилима или смерницима. |