Фрактал

Из Википедије, слободне енциклопедије
Манделбротов скуп је чувени пример фрактала.

Фрактал је „геометријски лик који се може разложити на мање делове тако да је сваки од њих, макар приближно, умањена копија целине“.[1] Још се каже да је такав лик сам себи сличан. Термин је извео Беноа Манделброт 1975.[2] године из латинске речи fractus која има значење „сломљен“, „разломљен“.

Фрактал често има следеће особине:[3][4]

Пошто се чине сличним на свим нивоима увећања, фрактали се често сматрају бесконачно комплексним у неформалном смислу речи. Природни облици који апроксимирају фрактале до извесне границе су облаци, планински венци, муње, морске обале, и снежне пахуљице. Међутим, нису сви објекти који су сами себи слични истовремено и фрактали – пример је реална права која је формално сама себи слична, али не поседује остале особине фрактала.

Историја[уреди]

Анимирана конструкција троугла Сјерпинског.

Математика која се налази у основи фрактала почела је да поприма свој облик у 17. веку када је математичар и филозоф Лајбниц разматрао особину рекурзивне сличности самом себи, иако је он, грешком, сматрао да је само права линија слична самој себи у том смислу. Тек 1872. године појављује се прва функција чији бисмо график данас сматрали фракталом, када је Карл Вајерштрас дефинисао функцију која је имала неинтуитивну особину да је на целој области дефинисаности била непрекидна, али да ни у једној тачки није била диференцијабилна. Три деценије касније, 1904. године Хелг Кох, незадовољан Вајерштрасовом превише апстрактном и аналитичком дефиницијом, у свом раду О једној непрекидној кривој без тангенти, добијеној помоћу елементарне геометријске конструкције (Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire) објављеном у часопису Arkivfor Matematik[7][8] даје геометријски дефиницију криве која је данас позната као Кохова пахуљица. 1915. године Вацлав Сјерпински је конструисао свој троугао, а годину дана касније и тепих Сјерпинског. У оригиналу, сви ти геометријски фрактали су били описани као криве, а не као дводимензионални облици, како се третирају у модерним дефиницијама. Идеју о кривама које су сличне саме себи је даље развио Пол Пјер Леви, који је 1938. године у свом раду Раванске или просторне криве и површи које су састављене од делова сличних целини (Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole) описао нову фракталну криву, познату данас као Левијева Ц крива.

И Георг Кантор је, у периоду 1879—1884, када је објављивао серију од шест чланака који су заједно били увод у његову теорију скупова, разматрао примере подскупова реалне праве са неуобичајеним особинама. Ти Канторови скупови су данас сврстани у фрактале.

Пред крај 19. и почетком 20. века Анри Поенкаре, Феликс Клајн, Пјер Фату и Гастон Жулија су истраживали итерирајуће функције у комплексној равни. Међутим без помоћи графике савремених рачунара, нису имали могућност визуелизације лепоте већине објеката које су открили.

Беноа Манделброт је шездесетих година 20. века почео да се бави самосличношћу у својим радовима као што је чланак Колико је дугачка британска обала? Статистичка самосличност и разломљене димезије (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension), заснован на једном ранијем делу које је објавио Луис Фрај Ричардсон.

Напокон, 1975. године, Манделброт је употребио реч „фрактал“ да њоме означи објекат који је имао особину да му је Хауздорфова димензија већа од тополошке. Ту математичку дефиницију је илустровао задивљујућом визуелизацијом добијеном помоћу рачунара. Већина генерисаних слика била је заснована на рекурзији, и тиме одредила општеприхваћено значење речи „фрактал“.

Области појављивања и примене фрактала[уреди]

Фрактали се често појављују као атрактори динамичких система, чак и у ситуацијама које се чине прилично једноставним (нпр. Жулијин скуп). У компјутерској графици, фрактали се користе за генерисање слика које представљају природне објекте[9]: облаке, снег, морске обале, планинске венце, хрпе отпада...

Класификација фрактала[уреди]

Према основној подели разликују се

  • геометријски,
  • алгебарски и
  • стохастични фрактали.

Поред тога, фрактали се, према постанку, могу поделити на природне и вештачке, где се под вештачким фракталима подразумевају они до којих су дошли научници, а који, при произвољном увећању, задржавају особине фрактала. Код природних фрактала се јавља ограниченост области егзистенције - постоје максимална и минимална величина размере објекта за коју он поседује фракталне особине.

Mandelbrot-similar-x1.jpg
Mandelbrot-similar-x6.jpg
Mandelbrot-similar-x100.jpg
Mandelbrot-similar-x2000.jpg
Полазни Манделбротов скуп Увећање шест пута Увећање 100 пута Фини детаљи подсећају
на полазни скуп

Фрактали се још деле на

  • детерминисане (овде спадају геометријски и алгебарски фрактали) и
  • недетерминисане (стохастичне фрактале).

У односу на степен самосличности, фрактали могу бити:

  • потпуно самослични - највећи степен самосличности. Фрактал је идентичан самом себи на произвољном нивоу увећања. Ову особину имају фрактали кој се добијају помоћу итеративних функција.
  • скоро самослични - мање строг облик самосличности; фрактал делује приближно (али не и потпуно) идентичан самом себи на различитим нивоима увећања. Овакве фрактале чине умањене копије целог фрактала у изобличеним и дегенерисаним облицима. Обично су то фрактали који се добијају помоћу рекурентних веза.
  • статистички самослични - најнижи ниво самосличности. Фрактал поседује нумеричке или статистичке мере које се чувају кроз увећање или умањење. Најједноставније дефиниције фрактала тривијално указују на неку врсту статистичке самосличности (фрактална димензија је сама по себи нумеричка величина која се не мења са увећањем, односно умањењем). Овде спадају фрактали генерисани стохастичким процесима.

Геометријски фрактали[уреди]

Анимирана конструкција Кохове криве

Геометријски фрактали су први фрактали које су изучавали математичари у 19. веку, захваљујући њиховој очигледности, односно, зато што је код њих одмах приметна особина самосличности.

Дводимензионе геометријске фрактале је могуће добити задавањем произвољне криве која ће послужити како генератор. Затим се, у сваком следећем кораку, средњи део те криве замени генератором - умањеним ликом целе криве. Бесконачним понављањем овог поступка добија се изломљена фрактална крива. Иако је та крива доста сложена, њен општи облик могуће је задати само генератором. На тај начин могу се генерисати змајева крива, Кохова крива, Левијева крива, Крива Минковског и Пеанова крива.

Поред наведених фракталних кривих, у геометријске фрактале спадају и Канторов скуп, троугао Сјерпинског, тепих Сјерпинског, Питагорино дрво и Менгеров сунђер који се добијају сличним поступком.

Алгебарски фрактали[уреди]

Жулијин скуп

За конструкцију алгебарских фрактала користе се итеративне нелинеарне функције које се задају једноставним алгебарским формулама.

Примери алгебарских фрактала су Манделбротов скуп, Жулијин скуп и Њутнов фрактал.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Mandelbrot (1982).
  2. ^ Edgar, Gerald (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer Science+Business Media. стр. VII. ISBN 978-0-387-74748-4. 
  3. ^ Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications}-, стр. -{xxv
  4. ^ Falconer, Kenneth (1982). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  5. ^ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992.. стр. 148. ISBN 978-0500276938, 0500276935. 
  6. ^ The Hilbert curve map is not a homeomorhpism, so it does not preserve topological dimension. The topological dimension and Hausdorff dimension of the image of the Hilbert map in R2 are both 2. Note, however, that the topological dimension of the graph of the Hilbert map (a set in R3) is 1.
  7. ^ Novak, Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature, стр. 177
  8. ^ Miroslav M. Novak, ed. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-238-822-2. 
  9. ^ "Hunting the Hidden Dimension." Nova. PBS. WPMB-Maryland. 28 October 2008.

Литература[уреди]

  • Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
  • Edgar, Gerald (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. New York: Springer Science+Business Media. стр. VII. ISBN 978-0-387-74748-4. 
  • Falconer, Kenneth (1982). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  • Miroslav M. Novak, ed. (2004). Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-238-822-2. 

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Фрактали