Канторов став о равномерној непрекидности

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ која је непрекидна на интервалу $[a,b]$, равномерно је непрекидна на њему.

Доказ

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ непрекидна на интервалу $[a,b]$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку $x$ из тог сегмента постоји нека околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за све тачке $x_{1}\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Изаберимо 2 тачке, $x_{1},x_{2}\in U(x)$. Тада је:

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента $[a,b]$, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент $[a,b]$, па скуп тих интервала чини покривач сегмента $[a,b]$. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ тако да њихове околине $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ образују подпокривач сегмента $[a,b]$. Како тачака $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ и означимо га са $\delta$.

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку $x'$ из интервала $[a,b]$ која припада неком од интервала $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$, што записујемо: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Изаберимо и тачку $x''$ из интервала $[a,b]$ која се налази у $\delta$-околини тачке $x'$, тј. $|x'-x''|<\delta$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$, онда је сигурно и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Сада, из $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ имамо да је:

$|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},$

тј. обе тачке, и $x'$ и $x''$, припадају $\delta _{i}$-околини тачке $x_{i}$, односно, обе се налазе унутар неке околине $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$, па из Дела 1: имамо да је онда $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$, што је и требало доказати.

Напомена

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још

• Равномерна непрекидност
• Непрекидност
• Борел-Лебегова лема

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.