Степени ред

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика

где an представља коефицијент n-тог сабирка, c је константа, а x је променљива близу c. Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.

Јако често се узима да је c једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик

Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.

Примери[уреди]

Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке c, мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином се може записати као степени ред око облика

или око центра као

или око било ког другог центра c. Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.

Формула геометријског реда

која важи за , је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције

и синусна формула

која важи за свако реално x. Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример

Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти не смеју да зависе од , стога на пример:

није степени ред.

Радијус конвергенције[уреди]

Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве x (барем за x = c) а за остале може да дивергира. Увек постоји број r, 0 ≤ r ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је |xc| < r и дивергира кад год |xc| > r. Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом

или, еквивалентно,

(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је

ако овај лимес постоји.

Ред конвергира апсолутно за x - c| < r и униформно на сваком непрекидном подскупу {x : |xc| < r}.

За x - c| = r, се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на x ако ред конвергира на x.

Операције са степеним редовима[уреди]

Сабирање и одузимање[уреди]

Када се две функције, f и g декомпонују у степени ред око истог центра c, степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:

онда

Множење и дељење[уреди]

Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:

Низ је познат као конволуција низова и .

Приметимо, за дељење:

а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.

Диференцирање и интеграција[уреди]

Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:

Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.

Аналитичке функције[уреди]

Функција f дефинисана на неком отвореном подскупу U од R или C се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако aU има отворену околину VU, такву да постоји степени ред са центром a који конвергира функцији f(x) за свако xV.

Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.

Формални степени редови[уреди]

У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.

Степени редови више променљивих[уреди]

Степени редови више променљивих су дефинисани на следећи начин

где је j = (j1, ..., jn) вектор природних бројева, коефицијенти a(j1,...,jn) су обично реални или комплексни бројеви, а центар c = (c1, ..., cn) и аргумент x = (x1, ..., xn) су обично реални или комплексни вектори. Једноставнија нотација је

Спољашње везе[уреди]