Изоморфизам (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.

Особине[уреди]

Пресликавање из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:

Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре и означава са .

Практичан пример[уреди]

Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.

Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу , логаритам пресликава позитивне реалне бројеве у реалне бројеве ; формално:

Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.

Осим што је изоморфизам скупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:

Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе у групу .

Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу , уређених парова где координате могу бити 0 или 1, а координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање -координате је по модулу 2 а сабирање -координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:

или уопштено . На пример, што се пресликава у други систем као . Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе и је цикличан ако и само ако су и узајамно прости.

Литература[уреди]

  • Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551.