Изоморфизам (математика)

Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.

Особине

Пресликавање $f$ из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:

• $f$ бијективно
• $f$ хомоморфизам
• Инверзна функција $f^{-1}$ хомоморфизам

Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре $X$ и $Y$ означава са $X\cong Y$.

Практичан пример

Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.

Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу $b$, логаритам $\log _{b}$ пресликава позитивне реалне бројеве $\mathbb {R} ^{+}$ у реалне бројеве $\mathbb {R}$; формално:

$\log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\mapsto \mathbb {R} \!$

Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.

Осим што је изоморфизам скупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу $(\mathbb {R} ^{+},\times )$ позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:

$\log _{b}(x\times y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!$

Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе $(\mathbb {R} ^{+},\times )$ у групу $(\mathbb {R} ,+)$.

Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, уређених парова где $x$ координате могу бити 0 или 1, а $y$ координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање $x$-координате је по модулу 2 а сабирање $y$-координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:

$(0,0)\mapsto 0$

$(1,1)\mapsto 1$

$(0,2)\mapsto 2$

$(1,0)\mapsto 3$

$(0,1)\mapsto 4$

$(1,2)\mapsto 5$

или уопштено $(a,b)\rightarrow (3a+4b){\bmod {6}}$. На пример, $(1,1)+(1,0)=(0,1)$ што се пресликава у други систем као $1+3=4$. Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ и $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ је цикличан ако и само ако су $n$ и $m$ узајамно прости.

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551.