Изоморфизам (математика)

Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.

Особине

Пресликавање f из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:

• f бијективно
• f хомоморфизам
• Инверзна функција f^-1 хомоморфизам

Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре X и Y означава са $X\cong Y$$X\cong Y$.

Практичан пример

Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.

Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу b, логаритам log_b пресликава позитивне реалне бројеве $\mathbb {R} ^{+}$$\mathbb {R} ^{+}$ у реалне бројеве $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$; формално:

$\log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \!$$\log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \!$

Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.

Осим што је изоморфизамскупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу $(\mathbb {R} ^{+},\times )$$(\mathbb {R} ^{+},\times )$ позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:

$\log _{b}(x\times y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!$$\log _{b}(x\times y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!$

Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе $(\mathbb {R} ^{+},\times )$$(\mathbb {R} ^{+},\times )$ у групу $(\mathbb {R} ,+)$$(\mathbb {R} ,+)$.

Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу Z/6Z бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу Z/2Z × Z/3Z, уређених парова где x координате могу бити 0 или 1, а y координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање x-координате је по модулу 2 а сабирање y-координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:

(0,0) -> 0

(1,1) -> 1

(0,2) -> 2

(1,0) -> 3

(0,1) -> 4

(1,2) -> 5

или уопштено (a,b) -> (3a + 4 b) mod 6. На пример, (1,1) + (1,0) = (0,1) што се пресликава у други систем као 1 + 3 = 4. Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе Z/nZ and Z/mZ је цикличан ако и само ако су n и m узајамно прости.

Литература

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.