Оса-угао ротација

Оса-угао вектор $θ = θ e$ где је $e$ јединични вектор помножен углом $θ$ .

У математици, оса-угао представљање ротације параметризује ротацију у тродимензионалном Еуклидовом простору са три величине: Јединичним вектором $e$ (који одређује правац осе ротације) и углом $θ$ (који описује интензитет ротације око осе). Потребне су само две вредности (не три) да би се дефинисао јединични вектор $e$ зато што му је интензитет константан. Скаларни производ угла $θ$ и јединичног вектора $e$ је оса-угао вектор.

{\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.

Сам по себи вектор не врши ротацију него се користи за конструисање трансформације које одговара ротацији. Ротација се одиграва у складу са правилом десне руке. Оса ротације се понекад назива и Ојлерова оса.

Ово је само један од начина формализације ротације у тродимензиалном простору. Основа за оса-угао представљање је Ојлерова теорема ротације која каже да ротација или секвенца ротација чврстог тела у тродимензионалном простору еквивалентна једној ротацији око фиксене осе.

Вектор ротације

Оса-угао представљање је еквивалентно сажетиом формом вектор ротације који се такође назива и Ојлеров вектор. У овом случају и оса и угао ротације су представљени вектором чији је правац паралелан са осом ротације а интензитет одговара углу $θ$ .

{\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} ~.

Користи се за експоненциајлне и логаритамске функције укључене у овај облик представљања ротације.

Пример

Рецимо да стојимо и да смо изабрали да је смер вектора гравитације негативан смер $z$ осе. Тада, ако се окренемо налево, ротираћемо се за $π ⁄ 2$ или 90 степени око $z$ осе. Посматрајући оса-угао предстваљање као уређени пар:

(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).

Овај пример може бити приказан и као вектор ротације интензитета $π ⁄ 2$ усмереног у $z$ правцу,

{\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.

Употреба

Оса-угао представљање је погодно за опис динамике чврстог тела. Такође се користи за опис ротације као и за кенверзију из различитих представљања динамике кретања чврстог тела.

Када се чврсто тело ротира око фиксне осе, тада је оса константна, а угао се мења у зависности од времена.

Ротирање вектора

Родригезова формула ротације^[1] је ефикасан алгоритам за ротацију Еуклидовог вектора, задату са осом ротације и углом. Другим речима Родригезова формула даје алгоритам за израчунавање експоненцијалне функције од $so (3)$ до $SO(3)$ без рачунања експоненцијалне функције целе матрице.

Ако је $v$ вектор у $ℝ 3$ и $e$ је јединични вектор који описује осу ротације око које $v$ ротиран за угао $θ$ Родригезова формула за добијање ротираног вектора је:

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} ~.

За ротацију једног вектора може бити ефикасније него пребацивање $e$ и $θ$ у матрицу ротације да би се вектор ротирао.

Однос са осталим облицима представљања ротације

Постоји неколико начина представљања ротације. Корисно је разумети у каквој су међусобној вези, и како пребацити иѕ једног представљања у друго. Овде је јединичнни вектор означен са $ω$ уместо $e$

Експоненцијална функција из so(3) у SO(3)

Експоненцијална фнкција трансформише из оса-уга представљања ротације у матрицу ротације.

\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)~.

Користећи Тејлорову формулу добијамо приближну релацију два представљања. Дати једиинични вектор ω ∈ ${\mathfrak {so}}$ (3) = ℝ³ представља осу ротације и угао θ ∈ ℝ, еквивалентна матрица ротације R је као што следи: где је K векторски производ матрице ω.

K v = ω × v за све векторе v ∈ ℝ³,

R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\mathbf {K} \theta +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots

Зато што је K косо-симетрична и сума квадрата изнад дијагонале је 1, карактеристични полином $P (t)$ од K је $P (t) = det(K - t I) = -(t 3 + t)$ . Пошто је по Hamilton-Cayley theorem, $P (K)$ = 0, следи

K 3 = - K

.

И као резултат, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K .

Овај патерн се понавља бесконачно и пошто су сви високи степени K изражени као K². Из претходне једначине следи:

R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}~,

а то је,

R=I+\sin(\theta )\mathbf {K} +(1-\cos(\theta ))\mathbf {K} ^{2}.

Због постојања поменуте експоненцијалне функције, јединични вектор ω представља осу ротације, а угао θ се понекад назива експоненцијална координата матрице ротације R.

Логаритамска функција из SO(3) у so(3)

Нека је K матрица 3x3 која утиче на векторски производ са осом ротације ω: K(v) = ω × v за све векторе v који следе.

Да би се добила оса-угао форма ротирања, израчунавамо угао из матрице ротације

\theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)

и то користимо да бисмо пронашли нормализовану осу,

\mathbf {\omega } ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}~.

Потребно је напоменнути да је логаритам матрице ротације R

\log R=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {if} \;\theta =0\\{\frac {\theta }{2\sin(\theta )}}(R-R^{\mathsf {T}})&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\;\mathrm {and} \;\theta \in (-\pi ,\pi )\end{matrix}}\right.

Изузетак је када R има sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je θ = $\pi$ Frobenius норма логаритма је : $\|\log(R)\|_{F}={\sqrt {2}}|\theta |~.$ Дате матрице ротација A и B,

d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\mathsf {T}}B)\|_{F}

је растојање у тродимензионалном простору између матрица ротације.

За мале ротације претходна рачуница за θ може биити нумерички непрецизна пошто извод arccos иде ка бесконачности како θ → 0. У том случају облици без осе ће обезбедити бољу информацију о θ пошто је за мале углове $R \approx I + θ K$ . (то је зато што су то прва два члана у Тејлоровом реду за exp(θ K).)

Ова формулација такође има проблема када је θ = $\pi$ , где услови изван осе не дају информацију о оси ротације (која је вишесмислено дефинисана). У таковом случају потребно је приспитати претходну формули.

R=I+\mathbf {K} \sin(\theta )+\mathbf {K} ^{2}(1-\cos(\theta ))

У θ=π, имамо

R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2(\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I)=2\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I

и нека

B:=\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } ={\frac {1}{2}}(R+I)~,

тако да је диагонална вредност од B квадрат елемената ω и знак може бити одређен из знакова ван дијагонале од B.

Кватерниони

Следећи израз трансформише оса-угао координате у версоре (јединичне кватернионе).

Q=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),\mathbf {\omega } \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)

Дати версор $q=s+\mathbf {x}$ представљен са својим скаларом s и вектором x, оса-угао вредности могу бити нађене следећом формулом:

\theta =2\,\arccos(s)\,

\mathbf {\omega } =\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{\sin(\theta /2)}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.

Нумерички стабилнија метода користи атан2 функцију:

\theta =2\,\operatorname {atan2} (|x|,s)\,,

где |x| је Еуклидова норма вектора (3) x.

Референце

^ Садржи уређену тројку за представљање ротационе групе. За више димензионално представљање, погледати Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). „A compact formula for rotations as spin matrix polynomials”. SIGMA. 10: 084. doi:10.3842/SIGMA.2014.084.

[1] Садржи уређену тројку за представљање ротационе групе. За више димензионално представљање, погледати Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). „A compact formula for rotations as spin matrix polynomials”. SIGMA. 10: 084. doi:10.3842/SIGMA.2014.084.

[1]