Поље (математика)

У апстрактној алгебри, поље је алгебарска структура у којој операција сабирања, одузимања, множења и дељења (осим дељења нулом) могу да се спроводе, и важе иста правила која су позната из стандардне аритметике.

Сва поља су прстенови, али нису сви прстенови поља. Поља се разликују од прстенова највише по захтеву да је дељење могуће, али и, данас, по захтеву да је операција множења на пољу комутативна.

Прототипски пример поља је скуп Q, поље рационалних бројева. Међу другим важним примерима је поље реалних бројева R, поље комплексних бројева C и, за сваки прост број p, коначно поље целих бројева по модулу p, што се означава Z/pZ, F_p или GF(p). За свако поље K, скуп K(X) рационалних функција са коефицијентима из K је такође поље.

Математичка дисциплина која проучава поља се назива теорија поља.

Еквивалентне дефиниције

Дефиниција 1

Поље је комутативни прстен са дељењем.

Дефиниција 2

Поље је комутативан прстен (F, +, *) такав да 0 није једнако 1 и сви елементи из F изузев 0 имају мултипликативни инверз. (Ваља имати у виду да су 0 и 1 неутрали за + и * редом, и могу се разликовати од реалних бројева 0 и 1).

Дефиниција 3

Експлицитно, поље дефинишу следећа својства:

Затвореност скупа F у односу на + и *

За свако a, b из F, и a + b и a * b припадају F (или формалније, + и * су бинарне операције на F).

И + и * су асоцијативне

За свако a, b, c из F, a + (b + c) = (a + b) + c и a * (b * c) = (a * b) * c.

И + и * су комутативне

За свако a, b из F, a + b = b + a и a * b = b * a.

Операција * је дистрибутивна над операцијом +

За свако a, b, c, из F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Постојање адитивног неутрала

Постоји елемент 0 у F, такав да за свако a из F, a + 0 = a.

Постојање мултипликативног неутрала

Постоји елемент 1 у F различит од 0, такав да за свако a из F, a * 1 = a.

Постојање адитивних инверза

За свако a из F, постоји елемент −a из F, такав да a + (−a) = 0.

Постојање мултипликативних инверза

за свако a ≠ 0 из F, постоји елемент a⁻¹ из F, такав да a * a⁻¹ = 1.

Захтев да је 0 ≠ 1 осигурава да скуп који садржи само један елемент није поље. Директно из аксома, може се показати да (F, +) и (F − {0}, *) су комутативне групе (абелове групе) и да су стога адитивни инверз −a и мултипликативни инверз a⁻¹ јединствено одређени са a. Међу другим корисним правилима су

−a = (−1) * a

и општије

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)

као и

a * 0 = 0,

сва ова правила су позната из елементарне аритметике.

Ако се изузме захтев за комутативношћу операције * разликују се горња комутативна поља од некомутативних поља.

Историја

Концепт поља је увео Дедекинд, који је користио немачку реч Körper (тело) за овај појам. Он је такође први дефинисао прстенове, али израз прстен (Zahlring) је увео Хилберт.

Примери

• Комплексни бројеви C, у односу на уобичајене операције сабирања и множења. Поље комплексних бројева садржи следећа подпоља:
• Рационални бројеви a, b из Z, b ≠ 0 } где је Z скуп целих бројева. Поље радионалних бројева не садржи права подпоља.
  • Поље алгебарских бројева је коначно проширење поља рационалних бројева Q, то јест, поље које садржи Q које има коначну димензију као векторски простор над Q. Свако такво поље је изоморфно подпољу од C, и сваки такав изоморфизам индукује идентитет на Q. Ова поља су врло важна у теорији бројева.
  • Поље алгебарских бројева ${\overline {\mathbb {Q} }}$, је алгебарска затвореност од Q. Поље алгебарских бројева је пример алгебарски затвореног поља карактеристике нула.
• Реални бројеви R, у односу на уобичајено сабирање и множење.
  • Реални бројеви имају неколико интересантних подпоља: реални алгебарски бројеви, израчунљиви бројеви.
• Постоји (до на изоморфизам) тачно једно коначно поље са q елемената, за сваки коначан број q који је степен простог броја, q≠ 1. (Не постоји коначно поље са другим бројем елемената.) Ово се обично означава са F_q. Таква поља се обично називају поља Галоа.
  • Ако је дат прост број p, скуп целих бројева по модулу p је коначно поље са p елемената Z/pZ = F_p = {0, 1, ..., p − 1} где су операције дефинисане извођењем операција у Z, дељењем са p и узимањем остатка; види: модуларна аритметика.
  • Ако је p = 2, добијамо најмање поље, F₂, које има само два елемента: 0 и 1. Може се дефинисати са две Кејлијеве табеле

     +  0  1        *  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1

Ово поље има важне примене у рачунартву, посебно у криптографији.

• Нека су E и F два поља, и F је подпоље од E. Нека је x елемент из E који није у F. Тада постоји најмање подпоље од E које садржи F и x, што се означава са F(x). Кажемо да је F(x) просто проширење од F. На пример, Q(i) је подпоље C које се састоји од свих бројева облика a + bi где су и a и b рационални бројеви.
• За дато поље F, скуп F(X) рационалних функција променљиве X са коефицијентима из F је поље.
• Ако је F поље, и p(X) је нерастављив полином у прстену полинома F[X], тада је коефицијент F[X]/<p(X)>, где <p(X)> означава идеал генерисан са p(X), поље са подпољем изоморфним са F. На пример, R[X]/<X² + 1> је поље (изоморфно пољу комплексних бројева). Може се показати да је свако просто алгебарско проширење од F изоморфна пољу овог облика.
• Када је F поље, скуп F((X)) формални Лоранов ред над F је поље.
• Ако је V алгебарски варијетет над F, тада рационалне функције V → F граде поље, поље функција над V.
• Ако је S Риманова површина, тада мероморфне функције S → C граде поље.
• Хиперреални бројеви и суперреални бројеви проширују реалне бројеве сабирањем инфинитезималних и бесконачних бројева.

Литература

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.
• Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0 
• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 , especially Chapter 13
• Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), „Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на језику: German), 5: 225—231, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01, doi:10.1007/BF02952522 CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Ax, James (1968), „The elementary theory of finite fields”, Ann. of Math., 2, 88: 239—271, doi:10.2307/1970573 
• Baez, John C. (2002), „The octonions”, Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 145—205, arXiv:math/0105155 , doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X 
• Banaschewski, Bernhard (1992), „Algebraic closure without choice.”, Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383—385, Zbl 0739.03027 
• Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (3 изд.), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4 
• Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press . See especially Book 3 (ISBN 0-521-27288-2) and Book 6 (ISBN 0-521-27291-2).
• Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004 
• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116, doi:10.1007/978-3-642-61693-8 
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8 
• Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30484-9, MR 861410, doi:10.1017/CBO9781139171885 
• Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8 
• Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press 
• Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd изд.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008 
• Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ур., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (на језику: German), 1 (2nd изд.), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1 
• Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2 
• Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (на језику: German), Vieweg, JFM 50.0042.03 CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd изд.), Springer 
• Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Field”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hensel, Kurt (1904), „Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на језику: German), 128: 1—32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01 CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd изд.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), „Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]”, Invent. Math., 70 (1): 71—98, Bibcode:1982InMat..70...71J, MR 0679774, doi:10.1007/bf01393199 
• Kleiner, Israel (2007), A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1 
• Kiernan, B. Melvin (1971), „The development of Galois theory from Lagrange to Artin”, Archive for History of Exact Sciences, 8 (1-2): 40—154, MR 1554154, doi:10.1007/BF00327219 
• Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3rd изд.), Springer, ISBN 0-387-95385-X, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053 
• Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4 
• Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (2nd изд.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448 , ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060 
• Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, ISBN 0-387-96640-4, MR 919949, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5 
• Moore, E. Hastings (1893), „A doubly-infinite system of simple groups”, Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73—78, MR 1557275, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X 
• Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, ISBN 3-540-13885-4, MR 769847, doi:10.1007/BFb0101548 
• Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7 
• Scholze, Peter (2014), „Perfectoid spaces and their Applications” (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9 
• Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (2nd изд.), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 554237 
• Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001 
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003 
• Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008 
• Steinitz, Ernst (1910), „Algebraische Theorie der Körper” [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167—309, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03, doi:10.1515/crll.1910.137.167 
• Tits, Jacques (1957), „Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes”, Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, стр. 261—289 
• van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer 
• von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe 
• Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer 
• Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7 
• Weber, Heinrich (1893), „Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie”, Mathematische Annalen (на језику: German), 43: 521—549, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01, doi:10.1007/BF01446451 CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)

Спољашње везе

• Поља - дефиниција и основна својства.