Afina transformacija

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Slika paprati nalik fraktalu koja pokazuje afinu samo-sličnost. Svaki od listova paprati se može dobiti afinom transformacijom nekog drugog lista. Na primer, crveni list može da se preslika u manji tamnoplavi list ili u veliki svetloplavi list samo kombinacijom afinih preslikavanja.

Afina transformacija ili afino preslikavanje[1] (lat. affinis: "povezano sa") u geometriji predstavlja funkciju, koju je prvi uveo Leonard Ojler [2], između afinih prostora koja preslikava tačke u tačke, prave u prave i ravni u ravni. Takođe, kod afinih preslikavanja par paralelnih pravih ostaje paralelan po transformaciji, ali afina transformacija ne mora nužno da sačuva uglove između pravih ili razdaljine između tačaka, mada čuva razmeru kolinearnih tačaka. Stoga afina preslikavanja imaju relativno malu slobodu. Trougao je moguće preslikati u proizvoljan drugi trougao bez obzira na njegovu veličinu i oblik, isto tako paralelogram u proizvoljan drugi paralelogram, ali paralelogram ne možemo preslikati u proizvoljan četvorougao upravo zbog čuvanja paralelnosti.

Afine transformacije imaju primenu u geometriji i računarskoj grafici.

Definicija[3][uredi | uredi izvor]

Neka je linearno preslikavanje vektorskog prostora, koji je pridružen prostoru tačaka . Afino preslikavanje je preslikavanje tačaka, koje je indukovano preslikavanjem vektora u smislu da je:[3]

Fiksirajmo reper prostora . Ako sa i označimo koordinate tačke i njene slike , redom, nije teško pokazati da afino preslikavanje ima oblik:

,

 

 

 

 

(1)

gde matrica predstavlja linearni deo preslikavanja, a vektor je translatorni deo.

Da bi preslikavanje bilo bijekcija, treba da bude ispunjen uslov da je . Indukovano linearno preslikavanje vektorskog prostora u bazi zadato je upravo matricom . Translatorni deo preslikavanja nema efekta na vektorima, jer translacija vektor preslikava u isti vektor. Primetimo da su afino preslikavanje i transformacije koordinata tačaka date formulama sasvim istog tipa, i da bilo koju od tih formula možemo da posmatramo na dva načina: pasivno i aktivno.

  • Pasivno posmatrano: tačke su fiksirane, pasivne, a i označavaju koordinate jedne iste tačke u reperima i .
  • Aktivno posmatrano: koordinatni sistem je fiksiran, a i označavaju koordinate tačke i njene slike pri afinom preslikavanju. Dakle sve tačke prostora se pomeraju, odnosno aktivne su.
Pasivno gledište afine transformacije
Aktivno gledište afine transformacije

Iz formule (1) afinog preslikavanja , direktnom proverom dobijamo:

  • tačka je slika koordinatnog početka pri tom preslikavanju, tj. .
  • kolone matrice su koordinate slika baznih vektora , redom, što znači da je matrica linearnog preslikavanja u bazi (po definiciji).

Sva afina preslikavanja čine grupu u odnosu na kompoziciju preslikavanja. Grupu afinih preslikavanja -dimenzionalnog prostora označavamo sa .

Afina preslikavanja, u opštem slučaju, ne komutiraju.

Primer kombinacija afinih transformacija: rotacija(plavo), pa skaliranje(crveno)
Primer kombinacija afinih transformacija: skaliranje(plavo), pa rotacija(crveno)
Ilustracija preslikavanja tri nekolinearne tačke A', B', O' u tri nekolinearne tačke A", B", O" redom

Osobine afinih transformacija[3][uredi | uredi izvor]

Postoji jedinstveno afino preslikavanje ravni koje preslikava tri nekolinearne tačke u tri nekolinearne tačke , redom[3].

Afine transformacije imaju sledeće osobine:

  • Bijekcije su.
  • Preslikavaju prave na prave, a krive drugog reda na krive drugog reda.
  • Čuvaju razmeru kolinearnih duži.
  • Čuvaju paralelnost pravih.
  • Preslikavanja za koja je čuvaju orijentaciju, a za koja je menjaju orijentaciju ravni.
  • Odnos zapremine slike i originala jednak je:

(odnosno u ravni, odnos površine slike i originala ).

Predstavljanje afinog preslikavanja matricama[uredi | uredi izvor]

Prigodno bi bilo da se afino preslikavanje predstavi jednom jedinom matricom, umesto matricom linearnog preslikavanja i translatornim delom. Tada kompoziciji afinih preslikavanja odgovara množenje matrica.

Tako se preslikavanje ravni[3]:

može predstaviti matricom formata :

,

što je ekvivalentno sa:

.

Slične formule važe za afina preslikavanja u proizvoljnoj dimenziji. Naime, ako matricu zapišemo u blok formi:

,

preslikavanja se zapisuju u obliku:

.

Afina preslikavanja u ravni[3][uredi | uredi izvor]

Neki značajniji primeri afinih preslikavanja ravni su:

  • Translacija za vektor .
  • Rotacija za ugao oko tačke .
  • Refleksija u odnosu na pravu .
  • Skaliranje u pravcu koordinatnih osa sa centrom u tački i koeficijentima i .
  • Smicanje sa koeficijentom u pravcu ili ose.
Refleksija trougla u odnosu na x-osu i y-osu
Translacija trougla za dva različita vektora
Rotacija pravougaonika oko koordinatnog početka O(0,0,0) za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Preslikavanja koja čuvaju dužinu u euklidskom prostoru nazivaju se izometrije.[4]

Izometrije koje čuvaju orijentaciju zovu se kretanja.

Afine transformacije ravni, izometrije i kretanja

Afina preslikavanja u prostoru[3][uredi | uredi izvor]

Tačka se preslikava u tačku :

Preslikavanje se predstavlja matricom :

Primeri afinih preslikavanja u prostoru[uredi | uredi izvor]

Neki značajniji primeri afinih preslikavanja u prostoru su[3]:

  • Translacija za vektor .
  • Rotacija oko prave za ugao .
  • Refleksija u odnosu na ravan .
  • Skaliranje u pravcu koordinatnih osa sa centrom u tački i koeficijentima , i .
Rotacija oko x-ose u 3D prostoru za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)
Skaliranje sa centrom u koordinatnom početku O(0,0,0) u pravcu koordinatnih osa i sa koeficijentima , i u 3D prostoru
Rotacija oko z-ose u 3D prostoru za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)
Rotacija oko z-ose u 3D prostoru, drugačija perspektiva za 60°(zeleno), 120°(plavo), 180°(crveno)

Primena[uredi | uredi izvor]

Afine transformacije imaju široku primenu u različitim oblastima.

Jedna od najpoznatijih primena afinih preslikavanja je korekcija geometrijskih distorzija ili deformacija, koje se pojavljuju zbog neidealnog ugla snimanja.[5]

Tako se u GIS[6] (Geographic information systems) afine transformacije koriste za korekciju distorzije sočiva širokougaonih objekata, kreiranje panoramskih slika i georegistraciju (proces proveravanja tačnosti mape/slike). Transformacija i spajanje slika u veliki, ravni koordinatni sistem je poželjna da bi se eliminisala distorzija. To omogućava lakšu interakciju i računanje koje ne zahteva razmišljanje o distorziji slike. Transformacija koordinata se može predstaviti afinim preslikavanjem, što se koristi kako u GIS, tako i u geodeziji[7]

Afine transformacije se primenjuju i u računarskoj grafici. Za manipulisanje slikama, smanjivanje distorzije, kopiranje slika, animaciju. Jedna od tehnika je fraktalna kompresija slika.

Afina preslikavanja se koriste i u kriptografiji. Primer je kriptografski algoritam AES Rijandael[8](Napredni standard enkripcije) koji se koristi za zaštitu elektronskih podataka.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Berger & Cole 1987.
  2. ^ Martin 1982.
  3. ^ a b v g d đ e ž T. Šukilović, S. Vukmirović: Geometrija za informatičare, Matematički fakultet, Beograd, 2015.. str. 81—95
  4. ^ Šukilović & Vukmirović 2015, str. 95–97.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Affine Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource [1]
  6. ^ Kang-tsung Chang:Introduction to Geographic Information Systems. isbn=978-0-07-126758-8. str. 111.[2]
  7. ^ Lapaine, M.: Geometrijske interpretacije afinog preslikavanja, Geodetski list (2015). str. 41-55, UDK 514.774.8:514.142:528.221 [3][mrtva veza]
  8. ^ Daernen, Joan (2002). The Design of Rijndael. str. 36. ISBN 978-3-540-42580-9.  Nepoznati parametar |authro2= ignorisan (pomoć) [4]

Literatura[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]