Divergentni redovi

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration. ("Divergentni redovi su generalno nešto fatalno, i šteta je bazirati bilo kakav dokaz za njih." Često se prevodi i kao "Divergentni redovi su pronalazak đavola …")

N. H. Abel, pismo Holbou, januar 1826, preštampan u tomu 2 njegovih sabranih dela.

U matematici, divergentni redovi su beskonačni redovi koji nisu konvergentni, što znači da beskonačan niz parcijalnih suma niza nema konačnih granica.

Ako red konvergira, pojedinačni članovi se moraju približavati nuli. Sledi da svaki red u kome se pojedini članovi ne približavaju nuli divergira. Međutim, za konvergiranje su potrebni dodatni uslovi: ne konvergiraju svi redovi čiji se članovi približavaju nuli. Primer je harmonijski red

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

Divergencija harmonijskog niza je dokazana od strane srednjovekovnog matematičara Nikola Oresme.

U posebnim matematičkim kontekstima, moguće je vrednost objektivno pridružiti određenom nizu čiji niz parcijalnih suma divergira. Tako se daje drugi smisao divergentnosti reda. Postupak metoda sumiranja ili metoda suma je parcijalna funkcija iz skupa nizova do vrednosti. Na primer, Cesaro sabiranje dodeljuje Grandijevim divergentnim redovima

$1-1+1-1+\cdots$

vrednost ¹/₂. Cesaro sumiranje je metod proseka, po tome što se oslanja na aritmetičku sredinu niza parcijalnih suma. Druge metode uključuju analitičko nastavljanje sličnih nizova. U fizici, postoji širok spektar metoda sumiranja; o njima je diskutovano u više detalja u članku o regularizaciji.

Istorija

... pre Košija matematičari se nisu prvo pitali 'Kako ćemo definisati 1−1+1...?' već 'Šta je 1−1+1...?' i ta navika razmišljanja ih je vodila u nepotrebne nedoumice i kontroverze koje su često bile čisto verbalne.

G. H. Hardi, Divergentni redovi, strana 6

Pre 19. veka divergentni redovi su bili u širokoj upotrebi od strane Ojlera i drugih, ali su često dovodili do konfuznih i kontradiktornih rezultata. Glavni problem je bila Ojlerova ideja da divergentni redovi treba prirodno da imaju sumu, bez prethodnog definisanja šta se podrazumeva pod zbirom divergentnog reda. Koši je na kraju dao strogu definiciju zbira (konvergentnog) reda, i neko vreme nakon ovoga divergentni redovi su uglavnom isključeni iz matematike. Oni su se ponovo pojavili 1886. godine sa Poenkareovim radom o asimptotskim nizovima. Godine 1890. Cesaro je shvatio da se može dati rigorozna definicija zbira nekog divergentnog reda, i definisao je Cesaro sabiranje. (Ovo nije bila prva upotreba Cesaro sabiranja koji je implicitno koristio Frobenius 1880.; ključni Cesarov doprinos nije bio otkriće ovog metoda, već njegova ideja da treba dati eksplicitnu definiciju zbira divergentnog niza.) Godinama posle Cesarovih novina nekoliko drugih matematičara dalo je druge definicije zbira divergentnih redova, iako oni nisu uvek bili kompatibilni: različite definicije mogu dati različite odgovore za zbir istih divergentnih redova, tako da kada se govori o zbiru divergentnih redova, potrebno je odrediti koje metode sumiranja su korišćenje.

Teoreme o metodama sumiranja divergentnih redova

Metod sumiranja M je regularan, ako se slaže sa stvarnim limitom na svim konvergentnim redovima. Takav rezultat se zove abelian teorema za M, sa prototipom Abelove teoreme. Zanimljiviji i uopšte suptilniji su parcijalni rezultati, koji se nazivaju tauberian teorema, iz prototipa dokazanog od strane Alfreda Taubera. Ovde parcijalni rezultat znači da ako M sumira niz Σ, a neki strani uređaj ima, onda je Σ konvergira na prvom mestu; bez bočnog uslova takav rezultat bi rekao da je M sumirao samo konvergentni niz (praveći ga besmislenim kao metod sumiranja za divergentne redove).

Operater koji daje zbir konvergentnog reda je linearan, i to proističe iz Han-banahove teoreme koja se može proširiti i na metode sumiranja sabirajući bilo kojired sa celovitim parcijalnim zbirom. Ova činjenica nije veoma korisna u praksi, jer ima mnogo takvih lokala, koji su u konzistenciji međusobno, kao i zbog toga što dokazivanje takvih postojećih operatera zahteva pozivanje na aksiomu izbora ili njenih ekvivalenata, kao što je Zornova lema. Oni su stoga nekonstruktivni.

Predmet divergentnog reda, kao domena matematičke analize, prvenstveno se bavi eksplicitnim i prirodnim tehnikama kao što su Abelovo sabiranje, Cesaro sabiranje i Borel sabiranje, i njihovi odnosi. Pojava Vinerove tauberian teoreme obeležena kao epoha u predmetu, uvodi neočekivane veze sa metodama Banakove algebre u Furijeovim analizama. 

Suma divergentnog reda se odnosi i na metode ekstrapolacije i sekvencijalne transformacije kao numeričke tehnike. Primeri za takve tehnike su Pade aproksimants, Levin-tajp sekvencijalna transformacija i zavisno mapiranje u vezi sa tehnikama renormalizacije za veliku teoriju perturbacije u kvantnoj mehanici. 

Svojstva metode sumiranja

Metod sumiranja se obično koncentriše na redosled parcijalnih suma reda. Iako ovo sekvenca ne konvergira, često možemo naći da kada uzmemo prosek većih i većih brojeva početnih uslova u nizu, prosek konvergira, a možemo koristiti ovaj prosek umesto limita za procenu zbira reda . Dakle, u proceni  a = a₀ + a₁ + a₂ + ..., radimo sa redosledom s, gde je s₀ = a₀ and s_n+1 = s_n + a_n+1. U konvergentnom slučaju, redosled ѕ približava limit. Metod sumiranja se može posmatrati kao neka funkcija iz skupa niza parcijalnih suma do vrednosti. Ako je A svaka metoda sumiranja koja dodeljuje vrednosti nizu sekvenci, možemo mehanički prevesti ovo na metodu sumiranja niza  A^Σ koja dodeljuje iste vrednosti odgovarajućem nizu. Postoje određene osobine koje je poželjno da ove metode imaju da stignu na vrednosti koje odgovaraju granicama i sumama.

1. Regularnost. Metod sumiranja je regularan ako, kad god niz ѕ konvergira u x, A(s) = x. Ekvivalentno, odgovarajući metod sumiranja niza procenjuje  A^Σ(a) = x.
2. Linearnost. A je linearno ukoliko je linearna funkcionalnost na sekvencama gde je definisana, tako da se  A(k r + s) = k A(r) + A(s) za sekvencu r, s i realni ili kompleksni skalar k. Kako su izrazi a_n+1 = s_n+1 − s_n niza a linearno funkcionalni na sekvencu ѕ i obrnuto, ovo je ekvivalentno da je A^Σ linearno funkcionalna na izraze niza.
3. Stabilnost (naziva se i translativnost). Ako je s je sekvenca koja počinje od s₀ i ako je s′ sekvenca koja se dobija izostavljanjem prve vrednost i njenim umanjenjem iz ostatka, tako da je s′_n = s_n+1 − s₀, tada je A(s) definisano samo ako je A(s′) definisano, i ako je A(s) = s₀ + A(s′). Ekvivalentno, kada je a′_n = a_n+1 a svako n, tada je A^Σ(a) = a₀ + A^Σ(a′). Drugi način navođenja ovoga je da pravilo smene mora da važi za niz koji je sumiran ovim metodom.

Treći uslov je manje važan, a neke značajne metode, kao što je Borel sabiranje, ga ne poseduju .

Takođe se može dobiti slabija alternativa do poslednjeg stanja. 

1. Konačna re-indeksabilnost. Ako su a i a′ dva reda takva da postoji bijekcija $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ takva da a_i = a′_f(i) za svako i, i ako postoji neko $N\in \mathbb {N}$ takvo da a_i = a′_i za svako i > N, onda A^Σ(a) = A^Σ(a′). (Jednom rečju, a′ je isti red kao a, sa konačno mnogo  re-indeksiranih izraza.) Primetimo da je slabiji uslov od stabilnosti, jer svaki metod sumiranja koji uključuje stabilnost uključuje i konačnu re-indeksabilnost, ali konverzacija nije tačna.

Poželjna osobina dva metoda sumiranja A i B da dele je konzistencija: A i B su konzistentni za svaki niz s za koji oba dodeljuju vrednosti, A(s) = B(s). Ako su dva metoda konzistentna i jedan sumira više redova nego drugi, onaj koji sumira više redova je jači.

Postoje snažne numeričke metode sumiranja koje nisu ni redovne ni linearne, primer nelinearnih sekvencijalnih transformacija kao što je Levin-tajp sekvencijalna transformacija i Pade aproksimants, kao i zavisne perturbativni redovi zasnovani na tehnikama renormalizacije.

Uzimajući regularnost, linearnost i stabilnost kao aksiome, moguće je sumirati mnoge divergentne redove osnovnim algebarskim manipulacijama. Ovo delimično objašnjava zašto mnoge različite metode sumiranja daju isti odgovor za određene redove. 

Na primer, kad god je r ≠ 1, geometrijski redovi

${\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\mbox{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\mbox{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\mbox{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\mbox{unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}$

mogu da budu procenjeni bez obzira na konvergencije. Rigoroznije, svaka metoda sumiranja koja poseduje ove osobine i koja dodeljuje graničnu vrednost geometrijskog niza mora da dodeli ovu vrednost. Kako god, kada je  r realan broj veći od 1, parcijalne sume rastu bez granica, a prosečne metode dodeljuju limit ∞.

Klasične metode sabiranja

Dve klasične metode sumiranja za red, obične konvergencije i apsolutne konvergencije, definišu brie kao granicu pojedinih parcijalnih suma. Strogo govoreći, ovo nisu baš metode sumiranja za divergentne redove, kao što po definiciji niz divergira samo ako ove metode ne funkcionišu, ali su uključene u potpunosti. Većina, ali ne sve metode sumiranja za divergentne redove proširuju ove metode u većoj klasi sekvenci.

Apsolutna konvergencija

Apsolutna konvergencija definiše iznos sekvence (ili seta) brojeva da bude granica mreže svih parcijalnih suma  a_k1+ ...+a_kn, ako postoji. To ne zavisi od reda elemenata sekvence, a klasična teorema kaže da sekvenca apsolutno konvergira ako i samo ako je redosled apsolutnih vrednosti konvergentan u standardnom smislu.

Zbir redova

Košijeva klasična definicijazbira reda a₀+a₁+... definiše sumu da bude limit sekvenci parcijalnih suma  a₀+ ...+a_n. Ovo je podrazumevana definicija konvergencije sekvenci.

Norlund značenje

Pretpostavimo da je p_n sekvenca pozitivnih izraza, koji počinju od p₀. Pretpostavimo i da 

${\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.$

Ako sada transformišemo sekvencu s korišćenjem da p daje ponderisana sredstva, postavljamo

$t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}$

onda se granica t_n kako n ide u beskonačnost obično zove Norlund značenje  N_p(s).

Norlund značenje je regularno, linearno i stabilno. Štaviše, bilo koja dva Norlund značenja su konzistentna.

Cesaro sabiranje

Najznačajnija Norlund značenja su Cesaro sabiranja. Evo, ako definišemo sekvencu  p^k 

$p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}$

onda je Cesaro sabiranje S_k definisano C_k(s) = N_(p^k)(s). Cesaro sabiranje je Norlund značenjeako k ≥ 0, i stoga su regulani, linearni, stabilni i konzistentni. C₀ je običan zbir, a C₁ je obično Cesaro sabiranje. Cesaro sabiranje ima osobinu da ako je h > k, onda je C_h jače od C_k.

Abelian značenje

Pretpostavimo da j λ = {λ₀, λ₁, λ₂, ...}strogo rastuća sekvenca koja teži beskonačnosti, i da je λ₀ ≥ 0. Pretpostavimo da

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)$

konvergira za sve realne brojeve x>0. Tada je Abelian značenje A_λ definisano kao

$A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).$

Uopšteno, ako red za f konvergira samo za veliko x ali može biti analitički nastavljeno za svako pozitivno realno x, onda se još uvek može definisati zbir divergentnog reda granicom iznad.

Niz ovog tipa je poznat kao uopšten Diriklet niz; u aplikacijama fizike, ovo je poznato kao metoda regularizacije tolotom zrna.

Abelian značenja su regularna i linearna, ali ne i stabilna i ne uvek konzistentna između različitih izbora  λ. Međutim, neki specijalni slučajevi su veoma važni metodi sumiranja.

Abel sabiranje

Ako je λ_n = n, onda dobijamo metod Abel sabiranja. Ovde

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$

gde je z = exp(−x). Onda granicaƒ(x) kada se x približava 0 putem pozitivnih realnih brojeva je granica snage redova za ƒ(z) kad se z približava 1 odozdo kroz pozitivne realne brojeve,  Abel sabiranje  A(s) je definisano kao

$A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.$

Abel sabiranje je zanimljivo delom zato što je u skladu sa Cesaro sabiranjem, ali moćnije : A(s) = C_k(s) svaki put kada ovo definisano. Abel sabiranje je stoga regularno, linearno, stabilno, i konzistentno sa Cesaro sabiranjem.

Lindelof sabiranje

Ako je λ_n = n log(n), onda (indeksiranjem jednog) imamo

$f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .$

Onda L(s), Lindelof sabiranje Volkov 2001, je granica ƒ(x) kada x teži nuli. Lindelof sabiranje je moćan metod kada se primenjuje na snagu reda među ostalim aplikacijama, sabiranje snage reda u Mitag-Lefler star.

Ako je g(z) analitički u disku oko nule, a samim tim ima Maklaurin red G(z) sa pozitivnim radijusom konvergencije, onda je L(G(z)) = g(z) u Mitag-Lefler star. Štaviše, konvergenija g(z) je jedinstvena na kompaktnim podskupovima zvezde.

Analitičko nastavljanje

Nekoliko metoda sumiranja uključuje uzimanje vrednosti analitičkog nastavljanja funkcije. 

Analitičko nastavljanje snaga redova

Ako Σa_nxⁿ konvergira za mali kompleksan broj x i može biti analitički nastavljen duž nekog puta od  x=0 do tačke x=1, onda zbir niza može biti definisan da bude vrenost za x=1. Ova vrednost može zavisiti od izbora puta.

Ojler sabiranje

Ojler sabiranje je u suštini eksplicitna forma analitičkog nastavka. Ako snaga reda konvergira za mali kompleksni broj z i može se analitički nastaviti u otvoreni disk prečnika  −1/(q+1) do 1 i nastavljajući do 1, onda je njegova vrednost Ojlerova ili (E,q) sumiranje niza a₀+.... Ojler je koristio ovo pre nego što je analitički nastavak definisan u celini, i dao je eksplicitne formule za snagu niza analitičkog nastavljanja.

Operacije Ojler sumiranja može da se ponovi nekoliko puta, i to je u suštini ekvivalentno uzimanju analitičkog nastavka snage niza do tačke z=1.

Analitički nastavak Diriklet redova

Ova metoda definiše iznos niza da bude vrednost analitičkog nastavka Diriklet niza

$f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots$

za s=0, ako ovo postoji i jedinstven je. Ovaj medot se ponekad meša sa zeta funkcijom regulisanja.

Zeta funkcija regulisanja

Ako niz

$f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots$

(za pozitivne vrednosti a_n) konvergira za veliko realno s i može se analitički nastavljati duž realne linije do s=−1, onda se njegova vrednost za s=−1 zeta regularizacija zbira niza a₁+a₂+... Zeta funkcija regularizacije je nelinearna. U aplikacijama, brojevi a_i su ponekad sopstvene vrednosti samo-adjoint operatera A sa kompaktnim resolventom, i f(s) je onda trag A^−s. Na primer, ako A ima sopstvene vrednosti 1, 2, 3, ... onda je f(s) Rimanova zeta funkcija, ζ(s), čija je vrednost za s=−1 jednaka −1/12, dodeljujući vrednosti divergentnom redu 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Druge vrednosti s se takođe mogu koristiti za dodeljivanje vrednosti divergentnom redu  ζ(0)=1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 i uopšteno$\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}$, gde je B_k Bernulijev broj.

Značenje integralne funkcije

Ako je J(x)=Σp_nxⁿ integralna funkcija, onda J je zbir niza a₀+... definisan kao

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},$

Ako granica postoji.

Postoji varijantna ovog metoda gde zins za J ima konačan radijus konvergencije r i divergira za x=r. U tom slučaju se definiše suma kao gore, osim uzimanja granice kao kada x teži r nego beskonačnosti.

Borel sabiranje

U ovom specijalnog slučaju kada J(x)=e^x ovo daje jednu (slabu) formu Borel sabiranja.

Valironov metod

Valironov metod je generalizacija Borel sabiranja do određenih opštijih integralnih funkcija J. Valiron je pokazao da je pod određenim uslovima ekvivalentno definisati zbir niza ako je

$\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-h^{2}H(n)/2}(a_{0}+\cdots +a_{h})$

gde je H drugi derivat G i c(n)=e^−G(n).

Moment metodi

Pretpostavimo da je dμ mera na realnoj pravoj tako da su svi trenuci

$\mu _{n}=\int x^{n}d\mu$

konačni. Ako je a₀+a₁+... takav niz da

$a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots$

konvergira za svako x u podršci μ, onda je (dμ) zbir niza definisan kao vrednost integrala

$\int a(x)d\mu$

ako je definisan. (Primetimo da ako brojevi μ_n rastu brzo, onda oni ne određuju jednako meru μ.)

Borel sabiranje

Na primer, ako je dμ = e^−xdx za pozitivno x i 0 za negativno x onda je μ_n = n!, i to daje jednu verziju Borel sabiranje, gde je vrednost sume data kao

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}dt.$

Postoji generalizacija ove zavisnosti na promenljivoj α, koja se naziva (B',α) zbir, gde je zbir niza a₀+... definisan kao

$\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}dt$

ako ovaj integral postoji. Dalja generalizacija je da se zameni iznos po integralu njegovim analitičkim nastavkom od malog t.

Miskelanovi metodi

Hausdorf transformacije

Hardy 1949, chapter 11.

Holder sabiranje

Glavni članak: Holder sabiranje

Hutonov medot

1812. godine Huton je uveo metod sabiranja divergentnog niza počevši sa sekvencom parcijalnih suma, i ponovljanjem primene operacije za zamenu sekvencu  s₀, s₁, ... putem proseka sekvenci (s₀+ s₁)/2, (s₁+ s₂)/2, ..., a zatim uzimajući granicu Hardy 1949, p. 21.

Ingam sabiranje

Red a₁+... se naziva Ingam sabiranje do ѕ ako je

$\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s$.

Albert Ingam je pokazao da ako je δ bilo koji pozitivan broj onda (C,−δ) (Cesaro) sabiranje implicira Ingam sabiranje, a Ingam sabiranje inplicira (C,δ) sabiranje Hardy 1949, Appendix II.

Lambert sabiranje

Red a₁+... se  naziva Lambert sabiranje do ѕ ako je

$\lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s$.

Ako je red (C,k) (Cesaro) moguće sabrati za svako k onda je Lamber sumirajući do iste vrednosti, a ako je niz Lambert sumirajući, onda je Abel sumirajući do iste vrednosti Hardy 1949, Apendiks II.

Le Roj sabiranje

Red a₀+... se naziva Le Roj sabiranje do ѕ ako je

$\lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s$.

Hardy 1949, 4.11

Mitag-Leferovo sabiranje

Red a₀+... se naziva Mitag-Leferovo (M) sabiranje do ѕ ako je

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s$.

Hardy 1949, 4.11

Ramanudžanovo sabiranje

Ramanudžanovo sabiranje je metod dodeljivanja vrednosti divergentnim nizovima korišćenih od strane Ramanudžana i na osnovu Ojler-Maklaurinove formule sabiranja. Ramanudžanovo sabiranje niza  f(0) + f(1) + ... ne zavisi samo od vrednosti f u celim brojevima, već i od vrednosti funkcije f sa ne-sastavne tačke, tako da nije baš metod sumiranja u smislu ovog člana.

Rejmanovo sabiranje

Red a₁+... se naziva (R,k) (ili Rejman) sumira se do s ako je

$\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s$.

Hardy 1949, 4.17.

Niz a₁+... se naziva R₂ sumira se do s ako je

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots a_{n})=s$.

Značenje Riesz

Ako λ_n formirati rastući niz realnih brojeva

$A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}$

onda je Riesz (R,λ,κ) sumiranje niza a₀+... definisano kao

$\lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}dx$

Vale-Pousin sabiranje

Red a₁+... se naziva VP (ili Vale-Pousin) sumira se do ѕ ako je

$\lim _{m\rightarrow \infty }a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots =s$.

Hardi 1949, 4.17.

Vidi i

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• Silverman–Toeplic teorema

Literatura

• Arteca, G.A.; Fernández, F.M.; Castro, E.A. (1990), Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics, Berlin: Springer-Verlag.
• Baker, Jr., G. A.; Graves-Morris, P. (1996), Padé Approximants, Cambridge University Press.
• Brezinski, C.; Zaglia, M. Redivo (1991), Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland.
• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.-C.; Zinn-Justin, J. (1990), Large-Order Behaviour of Perturbation Theory, Amsterdam: North-Holland.
• Volkov, I.I. (2001). „"Lindelöf summation method"”. Ur.: Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.  .
• Zakharov, A.A. (2001). „"Abel summation method"”. Ur.: Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.  .
• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001). „Riesz summation method”. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.