Nejednakost

Grafika rešenja sistema linearnih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti ili nisu (Takođe pogledajte: jednakost)

• Oznaka a < b znači da je a manje od b.
• Oznaka a > b znači da je a veće od b.
• Oznaka a ≠ b znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednako sa b, pa postoji „nejednakost“.

Ove relacije su poznate kao stroge nejednakosti

• Oznaka a ≤ b znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
• Oznaka a ≥ b znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Ako je smisao nejednakosti isti za sve vrednosti promenljivih za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva „apsolutnom“ ili „bezuslovnom“ nejednakošću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrednosti promenljivih, ali je suprotna ili se poništava za druge vrednosti tih promenljivih, tada se to naziva „uslovna nejednakost“.

U inženjerskim naukama, manje formalna upotreba notacije je da se kaže da je jedna veličina „mnogo veća“ od druge, obično za nekoliko redova veličine.

• Oznaka a ≪ b znači da je a mnogo manje od b.
• Oznaka a ≫ b znači da je a mnogo veće od b.

Ovo implicira da se manja vrednost može zanemariti sa malim uticajem na tačnost aproksimacije (kao što je slučaj ultrarelativističke granice u fizici).

U svim gore navedenim slučajevima, bilo koja dva simbola koja se ogledaju jedan u drugom su simetrična; a < b i b > a su ekvivalentna, itd.

Osobine

Nejednakostima se manipuliše sledeći osobine. Valja imati u vidu da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, osobina, takođe, važi i kada se znaci stroge nejednakosti (< i >) zamene njihovim odgovarajućim nestrogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija

Osobina trihotomije kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od sledećeg, je tačno:

• • a < b
  • a = b ** a > b

Tranzitivnost

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:

• • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
  • Ako je a < b i b < c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i a − c < b − c
  • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i a − c > b − c

to jest, realni brojevi su uređena grupa.

Množenje i deljenje

Osobine vezane za množenje i deljenje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b i c različit od nule:

• • Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc i a/c < b/c
  • Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc i a/c > b/c

Opštije, ovo važi za uređeno polje.

Aditivni inverz

Osobine za aditivni inverz kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b

• • Ako je a < b, tada je −a > −b
  • Ako je a > b, tada je −a < −b

Multiplikativni inverz

Osobine za multiplikativni inverz kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
  • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
  • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

• ako su ili a ili b negativni (ali ne oba), i b je različito od nule, onda:
  • Ako je a < b, tada je 1/a < 1/b
  • Ako je a > b, tada je 1/a > 1/b

Nejednakosti između srednjih vrednosti

Glavni članak: Nejednakosti između brojevnih sredina

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrednosti. Na primer, za bilo koje pozitivne brojeve a₁, a₂, …, a_n, važi da je x ≤ G ≤ a ≤ Q, gde je

$H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}$	(harmonijska sredina),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(geometrijska sredina),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(aritmetička sredina),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(kvadratna sredina).

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$G_{n}(a)\geq H_{n}(a)$

Dokaz

${\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Primenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve ${\frac {1}{a_{1}}}$, ${\frac {1}{a_{2}}}$...${\frac {1}{a_{n}}}$ dobija se

${\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}{\frac {1}{a_{2}}}...{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

${\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}$

${\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq ({\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}})^{-1}$

$(a_{1}a_{2}...a_{n})^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Jednakost vredi ako i samo ako je ${\frac {1}{a_{1}}}=...={\frac {1}{a_{n}}}$

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

$A_{n}(a)\leq K_{n}(a)$

Dokaz

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2}+2a-1a-2+2a_{2}a_{3}+...+a_{n-1}a_{n}$

zna se da je

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\geq 2a_{1}a_{2}$ za $\forall a_{1},a_{2}\in R$

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+..+(a_{n-1}^{2}+a_{n}^{2})\leq n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})$

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijena nejednakost se može korenovati čime se dolazi do

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq {\sqrt {n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}}$

${\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}{n}}}$

Jednakost vredi ako i samo ako je $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Nejednakosti stepena

Ponekad sa oznakom „stepena nejednakost“ podrazumevaju jednakosti koje sadrže izraz tipa a^b, gde su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih promenljivih.

Primeri

• Ako je x > 0, tada je

$x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,$

• Ako je x > 0, tada je

$x^{x^{x}}\geq x.\,$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

$(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,$

• Za bilo koja dva različita broj a i b,

${\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.$

• Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je

$(x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

$x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,$

• Ako je a, b>0, tada je

$a^{b}+b^{a}>1.\,$

Ovaj rezultat uopštio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazano da ako je a₁, ..., a_n > 0, tada je

$a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1$

(rezultat je objavljen u letonskom naučnom časopisu zvezdano nebo; pogledajte reference).

Kompleksni brojevi i nejednakosti

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ sa svojim operacijama sabiranja i množenja je polje, ali nije moguće definisati nijednu relaciju ≤ tako da $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ postane uređeno polje. Da bi $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ postalo uređeno polje, ono mora da zadovolji sledeća dva uslova:

• ako je a ≤ b tada je a + c ≤ b + c
• ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ a b

Pošto je ≤ totalno uređenje, za svako a, ili je 0 ≤ a ili je a ≤ 0 (u tom slučaju prva osobina implicira da je 0 ≤ $-a$). U oba slučaja je 0 ≤ a²; ovo znači da je $i^{2}>0$ i $1^{2}>0$; pa je $-1>0$ i $1>0$, što znači da je $(-1+1)>0$, što je kontradikcija.

Međutim, operator ≤ se može definisati tako da zadovoljava prvi uslov („ako je a ≤ b tada je a + c ≤ b + c“). Ponekad se koristi leksikografski poredak:

• a ≤ b ako je $Re(a)$ < $Re(b)$ ili ($Re(a)=Re(b)$ i $Im(a)$ ≤ $Im(b)$)

Može se lako dokazati da za ovu definiciju a ≤ b implicira a + c ≤ b + c.

Vektorske nejednakosti

Relacije nejednakosti slične onim definisanim gore se mogu takođe definisati za vektor kolonu. Ako se uzmu vektori $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ (što znači da je $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)^{T}$ i $y=\left(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)^{T}$ gde su $x_{i}$ i $y_{i}$ realni brojevi za $i=1,\ldots ,n$), mogu se definisati sledeće relacije:

• $x=y\$ ako je $x_{i}=y_{i}\$ za $i=1,\ldots ,n$
• $x<y\$ ako je $x_{i}<y_{i}\$ za $i=1,\ldots ,n$
• $x\leq y$ ako je $x_{i}\leq y_{i}$ za $i=1,\ldots ,n$ and $x\neq y$
• $x\leqq y$ ako je $x_{i}\leq y_{i}$ za $i=1,\ldots ,n$

Slično tome, mogu se definisati relacije za $x>y$, $x\geq y$, i $x\geqq y$.

Može se uočiti da je osobina trihotomije nije validna za vektorske relacije. Ako se razmotri slučaj gde je $x=\left[2,5\right]^{T}$ i $y=\left[3,4\right]^{T}$, vidi se da ne postoji validan odnos nejednakosti između ova dva vektora. Takođe neophodno je da se definiše multiplikativni inverz pre nego što se ovaj uslov razmotri. Međutim, za ostatak gore pomenutih osobina, postoji paralelna osobina za vektorske nejednakosti.

Dobro poznate nejednakosti

Glavni članak: Spisak nejednakosti

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lako. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

• Azumaova nejednakost
• Bernulijeva nejednakost
• Bulova nejednakost
• Koši–Švarcova nejednakost
• Čebiševljeva nejednakost
• Černofljeva nejednakost
• Kramer-Raova nejednakost
• Hefdingova nejednakost
• Helderova nejednakost
• Nejednakost aritmetičkih i geometrijskih sredina
• Jensenova nejednakost
• Kolgomorova nejednakost
• Markovljeva nejednakost
• nejednakost Minkovskog
• Nezbitova nejednakost
• Pedeova nejednakost
• Poenkareova nejednakost
• Nejednakost trougla

Vidi još

• Binarna relacija
• Zagrada za upotrebu znakova < i > kao zagrada
• Furije-Mockinova eliminacija
• Nejednačina
• Interval (matematika)
• Delimično uređen skup
• Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

Literatura

• Hardy, G; Littlewood J.E.; Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-05206-1. 
• Beckenbach, E. F.; Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 978-0-394-01559-0. 
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98404-9. 
• Klamkin, Murray S. „"Quickie" inequalities” (PDF). Math Strategies. Arhivirano iz originala (PDF) 28. 1. 2004. g. 
• „3rd USAMO”. Arhivirano iz originala 03. 02. 2008. g. Pristupljeno 02. 07. 2011. 
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 978-3-540-21398-7. 
• Grinshpan, A. Z. (2005), „General inequalities, consequences, and applications”, Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71—100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001 
• Lohwater, Arthur (1982). „Introduction to Inequalities”. Online e-book in PDF format. 
• Shapiro, Harold (2005). „Mathematical Problem Solving”. The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. 
• Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (first izd.). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 978-0-444-51795-1. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008. 
• Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5. 

Spoljašnje veze

• interaktivne linearne nejednakosti i grafikoni na www.mathwarehouse.com
• Rešavanje nejednakosti
• WebGraphing.com - kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
• Grafik nejednakosti od Eda Pega, Wolfram Demonstrations Project.
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Inequality”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• AoPS Wiki entry about Inequalities