Harova mera
U apstraktnoj matematičkoj analizi, teoriji grupa i teoriji mere, mera Hara (ili Harova mera) jeste način da se definiše invarijantna mera („zapremina“) na podskupovima lokalno kompaktnih topoloških grupa, i tim putem definiše pojam integrala funkcija na ovakvim grupama i na njih proširi veliki broj pojmova i rezultata klasične analize.
Mera Hara je uopštenje Lebegove mere, koja je translatorno invarijantna mera na euklidskom prostoru. Mera Hara se može definisati na ma kojoj lokalno kompaktnoj topološkoj grupi, i posebno na svakoj Lijevoj grupi.
Ovu meru je 1932. uveo Alfred Har, mađarski matematičar. Harove mere se koriste u mnogim delovima matematičke analize i teorije brojeva, kao i u teoriji ocena.
Pojmovi[uredi | uredi izvor]
Neka je G lokalno kompaktna topološka grupa (za topološku grupu pretpostavljamo da je Hausdorfova). Borelova algebra na G je σ-algebra koju generišu svi kompaktni podskupovi od G; njeni elementi nazivaju se Borelovim skupovima.
Za svaki podskup S ⊂ G, i svaki element a ∈ G, levi i desni translati skupa S se definišu kao:
- levi translat, aS = { a · s : s ∈ S },
- desni translat, Sa = { s · a : s ∈ S }.
Levi i desni translati Borelovih skupova su takođe Borelovi skupovi.
Mera μ na Borelovim skupovima u G se naziva sleva translatorno invarijantnom ako za svaki Borelov podskup S ⊂ G i svaki element a ∈ G vredi
- μ(aS) = μ(S).
Slično se definiše i zdesna translatorna invarijantnost mere.
Ako je (X, μ) ma koji merljivi topološki prostor, mera μ se naziva regularnom ako zadovoljava sledeća tri uslova:
- μ(K) je konačno za svaki kompaktan skup K ⊂ X,
- μ je regularna spolja, odnosno za svaki Borelov skup E ⊂ X vredi
- μ(E) = inf { μ(U) : E ⊂ U, U otvoren },
- μ je regularna iznutra, odnosno za svaki Borelov skup E ⊂ X vredi
- μ(E) = sup { μ(K) : K ⊂ E, K kompaktan }.
Postojanje i jedinstvenost mere Hara[uredi | uredi izvor]
Vredi sledeća osnovna
Teorema. Neka je G lokalno kompaktna topološka grupa. Postoji sleva translatorno invarijantna prebrojivo aditivna regularna mera μ na Borelovim skupovima u G takva da je μ(U) > 0 za svaki neprazan otvoreni skup U. Ova mera je jedinstvena do na množenje pozitivnom konstantom i naziva se levom merom Hara na G.
Postojanje mere Hara je u punoj opštosti prvi dokazao francuski matematičar Andre Vejl. Specijalan slučaj invarijantne mere na kompaktnim grupama dokazao je sam Har 1933.[1] Jedinstvenost je dokazao Džon fon Nojman 1935.[2]
Na isti način sledi i da na G postoji jedinstvena (do na množenje pozitivnom konstantom) zdesna translatorno invarijantna desna mera Hara ν, koja se ne mora podudarati sa levom merom Hara μ. U slučaju kada se ove dve mere podudaraju, kažemo da je grupa G unimodularna grupa i govorimo naprosto o meri Hara na G.
U opštem slučaju, mere μ i ν su u jednostavnoj vezi. Naime, ako za Borelov skup S označimo sa S−1 skup inverza elemenata iz S, tada je S−1 takođe Borelov skup, i funkcija μ−1 definisana sa
- μ−1(S) := μ(S−1)
je desna mera Hara. Desna invarijantnost sledi po definiciji:
- μ−1(Sa) = μ((Sa)−1) = μ(a−1S−1) = μ(S−1) = μ−1(S),
kao i prebrojiva aditivnost, regularnost i nedegenerisanost. Prema jedinstvenosti desne mere Hara sledi da je μ−1 umnožak mere ν nekom pozitivnom konstantom k > 0:
- μ(S−1) = kν(S) za sve Borelove skupove S.
Modularna funkcija[uredi | uredi izvor]
Levi translat svake desne mere Hara je i sama jedna desna mera Hara: ako je μ desna mera Hara, tada je
- μt : A ↦ μ(t−1A)
takođe zdesna translatorno invarijantna mera koja zadovoljava i sve ostale uslove za meru Hara. Stoga, postoji jedinstvena funkcija Δ, koja se naziva moduo Hara, modularna funkcija ili modularni karakter, takva da je
- μ(t−1A) = Δ(t)μ(A)
za svaki Borelov skup A. Modularna funkcija je homomorfizam grupe G u multiplikativnu grupu pozitivnih realnih brojeva.
Grupa G se naziva unimodularnom ako je njena modularna funkcija identički jednaka 1. Ovakve su sve abelove grupe i sve kompaktne grupe. Jedan primer ne-unimodularne grupe je grupa svih invertibilnih linearnih transformacija
- x ↦ ax + b
na realnoj pravoj R' (a ∈ R×, b ∈ R'), koja je poludirektan proizvod R ⋊ R×.
Integral Hara[uredi | uredi izvor]
Polazeći od mere Hara, može se putem opšte teorije integracije po Lebegu definisati integral svake Borel-merljive funkcije f na G, koji nazivamo integralom Hara. Pritom, ako je μ leva mera Hara, tada je
za svaku integrabilnu funkciju f. Ovo je ekvivalentno translatornoj invarijantnosti sleva za proste funkcije f, i zatim sledi za sve ostale funkcije standardnim postpukom približenja integrabilnih funkcija elementarnim.
Primeri[uredi | uredi izvor]
- Mera Hara na diskretnoj grupi G je naprosto brojačka mera; integral Hara svodi se u ovom slučaju na sabiranje.
- Mera Hara μ na topološkoj grupi (R,+), uz normalizaciju μ([0,1]) = 1, jeste Borelova mera na R (odnosno restrikcija uobičajene Lebegove mere dx na σ-algebru Borelovih podskupova od R). Analogno tvrđenje važi i za grupe (Rn,+).
- Ako je G = (R+,·) topološka grupa pozitivnih realnih brojeva sa operacijom množenja, tada je mera Hara data sa
- za svaki Borelov podskup S ⊂ R+.
- Opšta linearna grupa G = GLn'R' nije komutativna za n > 1, ali su leva i desna mera Hara proporcionalne i date sa
- ,
- gde identifikujemo G ↪ 'Rn × n uloženu kao podskup prostora 'Rn × n svih n × n realnih matrica, dX je Lebegova mera na ovom prostoru (proizvod Lebegovih mera po koordinatama). Ovo sledi integracijom smenom.
Druga svojstva i primene[uredi | uredi izvor]
Za dokazivanje postojanja mere Hara na lokalno kompaktnoj grupi G, često se pokazuje postojanje sleva invarijantne Radonove mere na G.
Mera Hara date lokalno komaktne topološke grupe G je konačna ako i samo ako je G kompaktna grupa.
Osim ako je G diskretna grupa, nije moguće definisati prebrojivo aditivnu zdesna translatorno invarijantnu meru na svim podskupovima od G, ukoliko se pretpostavi aksioma izbora (vidi i nemerljivi skupovi).
Mere Hara se koriste za harmonijsku analizu na proizvoljnoj lokalno kompaktnoj grupi, vidi Pontrjaginov dual. Posebno je značajna upotreba u teoriji brojeva, gde se koriste mere Hara na raznim reduktivnim algebarskim grupama, totalno nepovezanim lokalno kompaktnim p-adskim grupama, globalnim adeličkim grupama, itd.