Грамова матрица

У линеарној алгебри, Грамова матрица (или матрица скаларних производа) за уређен скуп вектора (чланова векторског простора) је матрица чији су елементи скаларни производи вектора из датог скупа. Грамове матрице налазе примену у статистици, квантој механици, машинском учењу и другим областима науке и технике. Добила је име по данском математичару Јергену Педерсену Граму.

Дефиниција

Нека је дат уређен скуп вектора a = (a₁, ..., a_n) из унитарног (или еуклидског) векторског простора V(𝔽). Грамова матрица скупа a је квадратна матрица

$G(a) = (\lang a_i, a_j \rang)_{ij}, \quad \forall i, j = 1 \ldots n,$

односно, у развијеној форми, матрица облика

$G(a) = \left(\begin{array}{ccc} \lang a_1, a_1 \rang & \cdots & \lang a_1, a_n \rang\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lang a_n, a_1 \rang & \cdots & \lang a_n, a_n \rang \end{array} \right),$

где је $\lang a_i, a_j \rang$ скаларни производ вектора a_i и a_j. Детерминанта матрице G(a) назива се Грамовом детерминантом скупа a. Скуп a је линеарно независан ако и само ако је његова Грамова матрица несингуларна, односно ако је његова Грамова детерминанта различита од нуле.

Види још

• Матрица
• Скаларни производ
• Метрички тензор
• Анализа главних компоненти

Литература

• Липковски, Александар (2007). Линеарна алгебра и аналитичка геометрија. Београд: Завод за уџбенике. ISBN 978-86-17-14540-6 (COBISS). 

Спољашње везе

• Грамове матрице на PlanetMath ((en))

Овај незавршени чланак Грамова матрица везан је за математику. Користећи правила Википедије, можете га проширити.